📂표현론

리 부분대수

정의¹

리 대수 $\mathfrak{g}$의 부분공간 $\mathfrak{h}$가 $\mathfrak{g}$의 브라켓 $[\cdot, \cdot]$에 대해서 닫혀있으면, $\mathfrak{h}$를 $\mathfrak{g}$의 리 부분대수^{Lie subalgebra}라 한다.

$$ \text{subspace $\mathfrak{h}$ is Lie subalgebra of $\mathfrak{g}$,$\quad$ if } [H_{1}, H_{2}] \in \mathfrak{h} \quad \forall H_{1}, H_{2} \in \mathfrak{h} $$

아이디얼

부분대수 $\mathfrak{h}$가 다음을 만족하면, $\mathfrak{g}$의 아이디얼이라 한다.

$$ [X, H] \in \mathfrak{h} \quad \forall X \in \mathfrak{g}, \forall H \in \mathfrak{h} $$

집합으로 표기하면,

$$ [\mathfrak{g}, \mathfrak{h}] \subset \mathfrak{h} $$

중심

리 대수 $\mathfrak{g}$의 곱에 대해서, 모든 $\mathfrak{g}$의 원소와 교환가능한 원소들의 집합을 $\mathfrak{g}$의 중심이라 한다.

$$ \text{center} = \left\{ X \in \mathfrak{g} : [X, Y] = 0, \quad \forall Y \in \mathfrak{g} \right\} $$

성질

(a) $\mathfrak{g}$를 리 대수라 하자. $\mathfrak{g}$의 중심은 $\mathfrak{g}$의 아이디얼이다.

$G$와 $H \subset G$를 행렬 리 군이라 하자. 그러면 $H$의 리 대수 $\mathfrak{h}$는 $G$의 리 대수 $\mathfrak{g}$의 부분대수이다.

(b) $H$가 $G$의 정규부분군이면, $\mathfrak{h}$는 $\mathfrak{g}$의 아이디얼이다.