📂행렬대수

고유값의 대수적 중복도는 일반화 고유공간의 차원과 같다

정리¹

행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$의 서로 다른 고유값 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}$가 각각 대수적 중복도 $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}$를 갖는다고 하자. 그리고 $\beta_{i}$를 일반화 고유공간 $W_{\lambda_{i}}$의 순서기저라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a) $i \ne j$에 대해, $\beta_{i} \cap \beta_{j} = \varnothing$

(b) 모든 $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n}$에 대해서, 다음을 만족하는 $\mathbf{v}_{i} \in W_{\lambda_{i}}$ ($1 \le i \le k$) 가 존재한다.

$$ \mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k} $$

즉 $\mathbb{C}^{n}$은 일반화 고유공간들의 직합으로 나타난다.

$$ \mathbb{C}^{n} = W_{\lambda_{1}} \oplus W_{\lambda_{2}} \oplus \cdots \oplus W_{\lambda_{k}} $$

(c) $\beta = \beta_{1} \cup \beta_{2} \cup \cdots \cup \beta_{k}$는 $\mathbb{C}^{n}$의 순서기저가 된다.

(d) $\dim (W_{\lambda_{i}}) = m_{i}$

증명

(a)

$i \ne j$에 대해, $\mathbf{v} \in \beta_{i} \cap \beta_{j} \subset W_{\lambda_{i}} \cap W_{\lambda_{j}}$라고 가정하자. 즉 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$이다. $W_{\lambda_{j}}$는 $(A - \lambda_{i}I)$–불변이고 함수 $(A - \lambda_{i} I)|_{W_{\lambda_{j}}}$는 커널이 $\left\{ \mathbf{0} \right\}$이므로, 임의의 $p$에 대해서 $(A - \lambda_{i} I)^{p} \mathbf{v} \ne \mathbf{0}$이다. 이는 $\mathbf{v} \in W_{\lambda_{i}}$라는 사실에 모순이고, 가정이 틀렸음을 알 수 있다. 그러므로

$$ \beta_{i} \cap \beta_{j} = \varnothing $$

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(b)

수학적 귀납법으로 증명한다.

$k = 1$일 때 성립함

$k=1$이라 하자. 그러면 $A$의 특성다항식은 $(x - \lambda_{1})^{m_{1}}$이다. 그러면 케일리-해밀턴 정리에 의해서 $(A - \lambda_{1} I)^{m_{1}} = O$이다. 따라서 $V = W_{\lambda_{1}}$이다.

$k-1$일 때 성립하면, $k$일 때도 성립함

$k-1$일 때 성립한다고 가정하자. 그리고 $A$가 $k$개의 서로 다른 고유값 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\dots$, $\lambda_{k}$를 가지고, $\lambda_{k}$의 대수적 중복도가 $m$이라 하자. $K = R(A - \lambda_{k}I)^{m}$라 하자. $R$은 치역을 의미한다. $A$와 $(A - \lambda_{k}I)$가 교환가능하므로, $K$는 $A$–불변이다. 이제 $(A - \lambda_{k}I)^{m}$의 $W_{\lambda_{i}}$ $(i \lt k)$ 위로의 축소사상을 생각해보자. 이는 일대일이고, 유한차원의 선형변환이므로 전사이기도 하다. 따라서 $i \lt k$에 대해서, $W_{\lambda_{i}} \subset K$이고 $\lambda_{i}$가 $A|_{K}$의 고유값이 됨을 알 수 있다. $\mathbf{v}$가 $\lambda_{i}$에 대응되는 $A$의 고유벡터라하면,

$$ A|_{K} \mathbf{v} = A \mathbf{v} = \lambda_{i} \mathbf{v} $$

하지만 $\lambda_{k}$는 $A|_{K}$의 고유값이 아니다. $\mathbf{v} \in K$에 대해서 $A \mathbf{v} = \lambda_{k} \mathbf{v}$라고 하자. 그러면 $\mathbf{v} = (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{u}$이고, 다음이 성립한다.

$$ (A - \lambda_{k}I) \mathbf{v} = (A - \lambda_{k}I) (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{u} = (A - \lambda_{k}I)^{m+1} \mathbf{u} = \mathbf{0} $$

그러므로 $\mathbf{u} \in K$이고, $\mathbf{v}=$$(A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{u} = \mathbf{0}$이 성립한다. 따라서 $\lambda_{k}$는 $A|_{K}$의 고유값이 아니다. $A|_{K}$의 고유값은 $A$의 고유값이기도 하므로, $A|_{K}$는 서로 다른 $k-1$개의 고유값 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k-1}$를 갖는다.

이제 $\mathbf{x} \in V$라 하자. 그러면 $(A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{x} \in K$이고, $k-1$일 때 성립한다는 가정에 의해, $A|_{K}$의 고유값 $\lambda_{i}$들에 대한 일반화 고유공간 $W_{\lambda_{i}}^{\prime}$의 원소 $\mathbf{w}_{i}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{x} = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} + \cdots + \mathbf{w}_{k-1} $$

$(A - \lambda_{k}I)^{m}$은 $W_{\lambda_{i}} \to W_{\lambda_{i}}$인 전사함수이고 $W_{\lambda_{i}}^{\prime}$이므로, 어떤 $\mathbf{v}_{i} \in W_{\lambda_{i}}$에 대해서 $\mathbf{w}_{i} = (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{v}_{i}$ $(i \lt k)$가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{x} = (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{v}_{1} + (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{v}_{2} + \cdots + (A - \lambda_{k}I)^{m} \mathbf{v}_{k-1} $$

$$ (A - \lambda_{k}I)^{m} \left( \mathbf{x} - \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k-1} \right) = \mathbf{0} $$

따라서 $\mathbf{x} - \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k-1} \in W_{\lambda_{k}}$이고, $\mathbf{v}_{k} = \mathbf{x} - \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k-1}$라 하면, 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{x} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} + \cdots + \mathbf{v}_{k} $$

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(c), (d)

$\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$이라 하자. (b) 에 의해서 $\mathbf{x} = \mathbf{v}_{1} + \cdots \mathbf{v}_{k}$ $(\mathbf{v}_{i} \in W_{\lambda_{i}})$이고, $\beta_{i}$가 $W_{\lambda_{i}}$의 순서기저이므로, $\mathbf{v}_{i}$는 $\beta_{i}$의 원소들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 따라서 $\beta$는 $\mathbb{C}^{n}$를 생성한다. $q = | \beta |$라 하면, $n \le q$이다. $\dim (W_{\lambda_{i}}) \le m_{i}$이므로, 다음의 부등식이 성립한다.

$$ q = \sum_{i}^{k} \dim (W_{\lambda _{i}}) \le \sum_{i}^{k} m_{i} = n $$

그런데 앞서서 $n \le q$였으므로, $n = q$이다. $|\beta| = n$이고, $\beta$가 $\mathbb{C}^{n}$를 생성하므로, $\beta$는 $\mathbb{C}^{n}$의 순서기저이다.

또한 위의 결과로부터 $\sum\limits_{i}^{k} \dim (W_{\lambda_{i}}) = \sum\limits_{i}^{k} m_{i}$이다. 따라서, $\dim (W_{\lambda_{i}}) \le m_{i}$ 이므로, $\dim (W_{\lambda_{i}}) = m_{i}$이다.

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