행렬의 삼각화
정의
행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$가 삼각행렬과 닮음이면, 삼각화가능triangularizable하다고 한다.
$$ A = P^{-1} U P $$
여기서 $U$는 일반성을 잃지않고 상삼각행렬이라 하자.
정리
모든 정방행렬 삼각화가능하다. 즉 상삼각행렬과 닮음이다.
설명
특히나 멱영행렬은 대각성분이 $0$인 상삼각행렬과 닮음이다.
증명
$A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$라 하자. 모든 행렬은 최소 하나의 고유값을 가지므로, $\lambda_{1}$를 $A$의 고유값, $v_{1}$를 이에 대응되는 고유벡터라 하자. 그리고 그램-슈미트 직교화를 통해 정규직교기저 $\left\{ v_{1}, v_{1,2}, \cdots, v_{1,n} \right\}$를 얻을 수 있다. 이를 열벡터로 갖는 행렬을 $Q_{1}$이라고 하자.
$$ Q_{1} = \begin{bmatrix} \overset{|}{\underset{|}{v_{1}}} & \overset{|}{\underset{|}{v_{1,2}}} & \cdots & \overset{|}{\underset{|}{v_{1,n}}} \end{bmatrix} $$
그러면 $Q_{1}$는 유니터리 행렬이고, 어떤 $\mathbf{y} \in \mathbb{C}^{n}$과 $B \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ Q_{1}^{\ast} A Q_{1} = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & \mathbf{a}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & B \end{bmatrix} $$
같은 논리로, $B$의 고유값 $\lambda_{2}$가 존재하고, 이에 대응되는 고유벡터가 포함된 정규직교기저로 만들어지는 유니터리 행렬 $U$를 얻을 수 있다. 그러면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U^{\ast} \end{bmatrix} Q_{1}^{\ast} A Q_{1} \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U^{\ast} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & \mathbf{a}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & \mathbf{a}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & U^{\ast} B U \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & a_{12} & \mathbf{b}^{\mathsf{T}} \\ 0 & \lambda_{2} & \mathbf{c}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & C \end{bmatrix} \end{align*} $$
이러한 방식으로 만들어지는 유니터리 행렬 $\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & U_{i} \end{bmatrix}$들을 $Q_{i}$라고 하면, $Q = Q_{1} \cdots Q_{n}$도 유니터리 행렬이다. 그리고 다음이 성립하여 $A$는 상삼각행렬과 닮음이다.
$$ Q^{\ast}AQ = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} $$
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