고유값의 성질
정의
$n \times n$ 행렬 $A$와 $n$ 차원 벡터 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$에 대해서, 다음의 식을 만족하는 상수 $\lambda$를 $A$의 고유값이라 한다.
$$ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $$
또한 이 때 $\mathbf{x}$를 $\lambda$에 대응하는 고유벡터라 한다.
성질
(a) 모든 행렬은 적어도 하나 이상의 고유값을 갖는다.
(b) 양의 정수 $k$에 대해서, $\lambda$가 행렬 $A$의 고유값이고 $\mathbf{x}$가 $\lambda$에 대응되는 고유벡터이면, $\lambda ^{k}$는 $A^{k}$의 고유값이고 $\mathbf{x}$는 $\lambda ^{k}$에 대응되는 고유벡터이다.
(c) 실행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$에 대해서, $\lambda$가 $A$의 고유값이면, $A^{\mathsf{T}}$의 고유값이기도 하다. 여기서 $A^{\mathsf{T}}$는 $A$의 전치이다.
(c') 복소행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$에 대해서, $\lambda$가 $A$의 고유값이면, $\overline{\lambda}$는 $A^{\ast}$의 고유값이다. 여기서 $\overline{\lambda}$는 $\lambda$의 켤레 복소수, $A^{\ast}$는 $A$의 켤레전치이다.
(c'') $\lambda_{i}$가 $A$의 고유값이면, $A^{\mathsf{T}}A$의 고유값은 $\lambda_{i}^{2}$이고 $A^{\ast}A$의 고유값은 $|\lambda_{i}|^{2}$이다.
설명
(c) 에서 $A$와 $A^{\mathsf{T}}$의 고유값들의 집합이 같지만, 일반적으로 각 고유값들에 대응되는 고유벡터까지 같은 것은 아니다.
증명
(a)
$n \times n$ 행렬에 대한 특성 방정식은 $n$차 다항식으로 나타나고, 이는 적어도 하나의 해를 가지므로 모든 행렬은 하나 이상의 고유값을 갖는다.
(b)
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(c)
$A$의 고유값이란, 특성 방정식 $\det(A - \lambda I) = 0$의 해를 말한다. 그런데 행렬식의 값은 전치에 의존하지 않으므로 ($\det A = \det A^{\mathsf{T}}$) 다음이 성립한다.
$$ \det(A - \lambda I) = \det(A^{\mathsf{T}} - \lambda I^{\mathsf{T}}) = \det (A^{\mathsf{T}} - \lambda I) $$
따라서 $A$와 $A^{\mathsf{T}}$의 고유값은 같다. 또한 같은 논리로 (c') 이 성립한다.
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