정부호 행렬의 성질
성질
정부호 행렬과 관련하여 다음이 성립한다.
(a) 행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$에 대해서, $A^{\ast}A$는 양의 준정부호이다.
(b) 양의 정부호 행렬과 음의 정부호 행렬은 항상 가역 행렬이다.
(c) (준)정부호 행렬은 에르미트 행렬이다.
설명
(a) 에서 $A$가 실행렬일 땐 $A^{\mathsf{T}}A$라 두면 된다.
증명
(a)
$\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \mathbf{x}^{\ast} A^{\ast} A \mathbf{x} = (\mathbf{x} A)^{\ast} A \mathbf{x} = (A \mathbf{x}) \cdot (A \mathbf{x}) $$
내적의 성질에 의해서 위 값은 $0$보다 크거나 같다.
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(b)
방법1
- $A$가 가역행렬이다.
- $A$의 모든 고유값이 $0$이 아니다.
정부호행렬의 정의로부터 고유값이 $0$이 아님이 보장된다. 가역행렬의 동치조건에 의해 정부호행렬은 가역행렬이다.
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방법2
일반성을 잃지않고 $A$를 양의 정부호행렬이라 하자. 그러면 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$에 대하여 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \gt 0$이 성립한다. $A$가 가역이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$가 존재하여, $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$가 성립한다. 양변에 $\mathbf{x}^{\ast}$를 곱하면 $\mathbf{x}^{\ast}A \mathbf{x} = 0$인데 이는 $A$가 양의 정부호라는 것에 모순이다. 따라서 $A$가 가역이라는 가정이 틀렸으므로, $A$는 가역이다.
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