📂행렬대수

행렬의 지수

정의¹

행렬의 지수함수 $\exp : M_{n \times n}(\mathbb{C}) \to M_{n \times n}(\mathbb{C})$를 다음과 같이 정의하고, 이를 행렬 지수(함수)^{matrix exponential}라 한다.

$$ \exp (X) = e^{X} := \sum\limits_{m=0}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} \tag{1} $$

이때 위의 극한은 행렬의 극한을 의미한다.

설명

지수함수의 급수꼴 $e^{x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!}$과 같이 정의된다. 이렇게 정의해야 지수함수의 정의인 $\dfrac{d}{dt} e^{t} = e^{t}$를 만족하기 때문이다.

$$ \dfrac{d}{dt} e^{Xt} = Xe^{Xt} $$

$X^{0}$은 단위행렬 $I$로 정의한다. 실수 위에서 정의되는 지수함수의 성질을 그대로 따른다. $e^{X}$ 그 자체도 $n \times n$ 행렬임에 유의하자.

한편 행렬의 지수를 정의한 만큼, 행렬의 로그 또한 정의할 수 있다.

$$ \log A = \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{(A - I)^{m}}{m} $$

성질

$X, Y \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$라고 하자. 그러면 다음의 행렬 지수 함수는 🔒(26/01/01)다음의 성질을 갖는다.

(a) 모든 $X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$에 대해서, 급수 $(1)$은 수렴하고 $e^{X}$는 연속함수이다.

(b) $e^{O} = I$ ($O$는 영행렬)

(c) $(e^{X})^{\ast} = e^{X^{\ast}}$

(d) $e^{X}$는 가역행렬이고 $(e^{X})^{-1} = e^{-X}$이다.

(e) $e^{\alpha X + \beta Y} = e^{\alpha X} e^{\beta Y}$

(f) 만약 $XY = YX$이면, $e^{X+Y} = e^{X} e^{Y} = e^{Y} e^{X}$이다.

(g) 만약 $C \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$이면, $e^{C X C^{-1}} = C e^{X} C^{-1}$이다. 이때 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$은 일반선형군이다.

(h) 대각행렬 $D = [d_{ii}]$에 대해서, $e^{D} = \begin{bmatrix} e^{d_{11}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & e^{d_{nn}} \end{bmatrix}$이다. $$ e^{\diag (d_{11}, \dots, d_{nn})} = \diag (e^{d_{11}}, \dots, e^{d_{nn}}) $$

　(h') 블럭대각행렬의 지수는, 지수의 블럭대각행렬과 같다. $$ e^{\diag(X_{1}, \dots, X_{r})} = \diag(e^{X_{1}}, \dots, e^{X_{r}}) $$

(i) $\| e^{X} \| \le e^{\| X \|}$이고 $\| e^{X} - I \| \le e^{\| X \|} - 1$이다.

정리

$X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$에 대해서, $e^{tX}$는 매끄러운 곡선이고 다음이 성립한다.

$$ \dfrac{d}{dt} e^{tX} = X e^{tX} = e^{tX}X $$

같이보기

• 행렬 로그