📂표현론

컴팩트 리 군

정의¹

리 군

리 군 $G$가 위상군으로서 컴팩트공간이면, $G$를 컴팩트^compact라 한다.

행렬 리 군

행렬 리 군 $G \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$에 대해서, $G$가 $M_{n \times n}(\mathbb{C}) \cong \mathbb{R}^{2n \times 2n}$의 부분 위상공간으로서 컴팩트공간이면, $G$를 컴팩트라 한다.

설명

하이네-보렐 정리에 의해서, 행렬 리 군이 컴팩트일 필요충분조건은 유계이고 $M_{n \times n}(\mathbb{C})$의 부분집합으로서 닫혀있는 것이다. 즉 행렬 리 군 $G$가 컴팩트라는 것은 다음의 두 조건이 성립하는 것이다.

• 유계: 모든 $A \in G$에 대해서, $|A_{ij}| \le C$가 성립하는 상수 $C > 0$가 존재한다.
• 닫힘: $G$의 수열 $\left\{ A_{m} \right\}$이 $A$로 수렴하면, $A \in G$이다.

종류

아래의 리 군들은 모두 컴팩트 리 군이다. 모두 실수 혹은 복소수 행렬공간의 닫힌집합이자, 유계이기 때문이다. 닫힌집합인 것은 각 링크에서 확인할 수 있으며, 유계인 것은 이들의 원소들은 모두 단위벡터를 열로 가지는 행렬이라 $|A_{ij}| \le 1$이므로 성립한다.

• 직교군 $\operatorname{O}(n)$
• 특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$
• 유니터리군 $\operatorname{U}(n)$
• 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$
• 컴팩트 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(n)$

이들을 제외한 대부분의 리 군들은 컴팩트 리 군이 아니다. 가령 특수선형군을 보면, 모든 $m \ne 0$에 대해서 다음의 꼴을 포함하므로 유계가 아니다.

$$ A_{m} = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \det A_{m} = 1 $$