📂표현론

하이젠베르크 군

정의¹

아래와 같은 $3 \times 3$ 행렬들의 집합을 하이젠베르크 군^{Heisenberg group}이라 한다.

$$ H := \left\{ \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} : a, b, c \in \mathbb{R} \right\} $$

설명

대각성분이 $1$인 상삼각행렬들의 집합이다.

군

행렬곱셈이 이항연산으로 주어지면 집합 $H$는 군이 된다.

• 닫혀있음

  $$ \begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \alpha & \gamma \\ 0 & 1 & \beta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a + \alpha & c + a\beta + \gamma \\ 0 & 1 & b + \beta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

  우변 $1$행 $3$열 성분의 $a \beta$로 인해 가환군이 아님을 알 수 있다.

• 결합법칙

  행렬곱셈이므로 성립한다.

• 항등원

  행렬곱셈이므로 단위행렬이 항등원이다.

• 역원

  역원은 아래와 같다.

$$ \begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -a & ab-c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

부분군

모든 원소에 대해 역원이 존재하므로 $\operatorname{GL}(3, \mathbb{R})$의 부분집합이고, 행렬곱에 대해서 그 자체로 군이므로 $H$는 $\operatorname{GL}(3, \mathbb{R})$의 부분군이다.

행렬 리 군

$H$는 $\operatorname{GL}(3, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군이므로 행렬 리 군이 된다. 함수 $f : \operatorname{GL}(3, \mathbb{R}) \to M_{3 \times 3}(\mathbb{R})$을 다음과 같이 정의하자. 대각성분과 그 아래 성분만 취하는 함수이다.

$$ f(A) = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{22} & A_{33} & A_{21} & A_{31} & A_{32} \end{bmatrix}, \qquad A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}) $$

그러면 $f$는 연속함수이다. 연속함수의 닫힌 집합에 대한 프리이미지는 닫힌 집합임을 기억하자. 집합 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right\}$이 $M_{3 \times 3}$에서 닫힌집합이므로, 이의 프리이미지인 $H$ 역시 닫힌집합이다.

$$ f^{-1}(\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right\}) = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} : a, b, c \in \mathbb{R} \right\} = H $$

따라서 $H$는 닫힌부분군이 되어, 행렬 리 군이다.