📂표현론

유클리드 군

정의¹

실수공간 $\mathbb{R}^{n}$ 위에서 정의된 모든 평행이동 변환과 직교 변환의 결합들의 집합을 유클리드 군^{Euclidean group}이라 하고 $\operatorname{E}(n)$이라 표기한다. 이는, 주어진 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$과 $R \in \operatorname{O}(n)$에 대해서, 아래와 같은 사상 $( \mathbf{x}, R )$들의 집합이다.

$$ \operatorname{E}(n) := \left\{ ( \mathbf{x}, R ) : \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n},\quad \forall R \in \operatorname{O}(n) \right\} \\[1em] \begin{align*} \text{where } ( \mathbf{x}, R ) : \mathbb{R}^{n} &\to \mathbb{R}^{n} \\ \mathbf{y} &\mapsto R\mathbf{y} + \mathbf{x} \end{align*} $$

여기서 $\operatorname{O}(n)$은 직교군이다.

설명

직관적으로 유클리드 군은 모든 평행이동, 반사, 회전의 결합들의 집합이다.

군

함수의 합성에 대해서 군이 된다. 두 변환의 합성에 대해 다음이 성립한다.

$$ (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(\mathbf{x}_{2}, R_{2})\mathbf{y} = (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(R_{2}\mathbf{y} + \mathbf{x}_{2}) = R_{1}R_{2}\mathbf{y} + R_{1}\mathbf{x}_{2} + \mathbf{x}_{1} $$

$$ \implies (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(\mathbf{x}_{2}, R_{2}) = (\mathbf{x}_{1} + R_{1}\mathbf{x}_{2}, R_{1}R_{2}) \tag{1} $$

• 결합법칙 $$ \begin{align*} \Big[ (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(\mathbf{x}_{2}, R_{2}) \Big] (\mathbf{x}_{3}, R_{3}) &= (\mathbf{x}_{1} + R_{1}\mathbf{x}_{2}, R_{1}R_{2}) (\mathbf{x}_{3}, R_{3}) \\ &= (\mathbf{x}_{1} + R_{1}\mathbf{x}_{2} + R_{1}R_{2}\mathbf{x}_{3}, R_{1}R_{2}R_{3}) \\ &= (\mathbf{x}_{1} + R_{1}(\mathbf{x}_{2} + R_{2}\mathbf{x}_{3}), R_{1}(R_{2}R_{3})) \\ &= (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(\mathbf{x}_{2} + R_{2}\mathbf{x}_{3}, R_{2}R_{3}) \\ &= (\mathbf{x}_{1}, R_{1}) \Big[ (\mathbf{x}_{2}, R_{2})(\mathbf{x}_{3}, R_{3}) \Big] \\ \end{align*} $$

• 항등원

  영벡터 $\mathbf{0}$와 항등행렬 $I$에 대해서, $(\mathbf{0}, I)$가 $\operatorname{E}(n)$의 항등원이 된다.

• 역원

  $(\mathbf{x}, R)$의 역원은 $(-R^{-1}\mathbf{x}, R^{-1})$이다. $$ (\mathbf{x}, R)(-R^{-1}\mathbf{x}, R^{-1}) = (\mathbf{x} - RR^{-1}\mathbf{x}, RR^{-1}) = (\mathbf{0}, I) $$

부분군

평행이동은 선형이 아니기 때문에 $\operatorname{E}(n)$은 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 부분군이 되지 않는다. 다만 $\operatorname{GL}(n+1, \mathbb{R})$의 부분군이 되어 다음의 집합과 동형이다.

$$ \left\{ \begin{bmatrix} R & \mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} : R \in \operatorname{O}(n), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} $$

즉 $\operatorname{E}(n)$의 원소는 $n+1$ 차원의 아핀 변환으로 표현된다. 이 변환은 $[\mathbf{y}, 1]^{\mathsf{T}} \mapsto [R\mathbf{y} + \mathbf{x}, 1]^{\mathsf{T}}$와 같은 매핑이며, $(1)$의 곱규칙을 그대로 따른다.

$$ \begin{bmatrix} R_{1} & \mathbf{x}_{1} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_{2} & \mathbf{x}_{2} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{1}R_{2} & R_{1}\mathbf{x}_{2} + \mathbf{x}_{1} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} R & \mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R^{-1} & -R^{-1}\mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} $$

$\begin{bmatrix} R_{1} & \mathbf{x}_{1} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} R_{2} & \mathbf{x}_{2} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \in \operatorname{E}(n)$이라 하자. 그러면 다음이 성립하므로, 부분군 판정법에 의해, $\operatorname{E}(n)$은 $\operatorname{GL}(n+1, \mathbb{R})$의 부분군이다.

$$ \begin{bmatrix} R_{1} & \mathbf{x}_{1} \\[0.5em] \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_{2}^{-1} & -R_{2}^{-1}\mathbf{x}_{2} \\[0.5em] \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{1}R_{2}^{-1} & R_{1}(-R_{2}^{-1}\mathbf{x}_{2}) + \mathbf{x}_{1} \\[0.5em] \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \in \operatorname{E}(n) $$

행렬 리 군

$\operatorname{E}(n)$은 $\operatorname{GL}(n+1, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군이므로 행렬 리 군이 된다. 함수 $f : \operatorname{GL}(n+1, \mathbb{R}) \to M_{n \times n}(\mathbb{R})$을 다음과 같이 정의하자. 주어진 행렬의 왼쪽 위 $n \times n$ 부분만 취하는 함수이다.

$$ f (A) = \begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}, \qquad A \in M_{(n+1) \times (n+1)}(\mathbb{R}) $$

그러면 $f$는 연속함수이다. 연속함수의 닫힌 집합에 대한 프리이미지는 닫힌 집합임을 기억하자. $\operatorname{O}(n)$은 $M_{n \times n}$에서 닫힌집합이므로, 아래의 프리이미지 역시 닫힌 집합이다.

$$ f^{-1}(\left\{ \operatorname{O}(n) \right\}) = \left\{ \begin{bmatrix} R & \mathbf{x} \\ \mathbf{y}^{\mathsf{T}} & z \end{bmatrix} : R \in \operatorname{O}(n), \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}, z \in \mathbb{R} \right\} $$

그리고 함수 $g$를 다음과 같이 정의하자. 주어진 행렬의 마지막 행만 취하는 함수이다.

$$ g(A) = \begin{bmatrix} A_{n+1, 1} & A_{n+1, 2} & \cdots & A_{n+1, n+1} \end{bmatrix}, \qquad A \in M_{(n+1) \times (n+1)}(\mathbb{R}) $$

그러면 $g$도 연속함수이고, 닫힌집합 $\left\{ \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}$의 프리이미지 역시 닫힌집합이다.

$$ g^{-1}(\left\{ \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}) = \left\{ \begin{bmatrix} A & \mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} : A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} $$

닫힌집합의 교집합은 닫힌집합이므로 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$은 닫힌부분군이 되어, 행렬 리 군이다.

$$ \begin{align*} \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R}) &= \left\{ \begin{bmatrix} R & \mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} : R \in \operatorname{O}(n), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \\ &= f^{-1}(\left\{ \operatorname{O}(n) \right\}) \cap g^{-1}(\left\{ \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}) \end{align*} $$