평행이동변환

정의

벡터공간 $V$의 원소 $\mathbf{u}$가 주어졌다고 하자. 아래와 같은 변환 $T_{\mathbf{u}} : V \to V$를 평행이동^translation이라 한다.

$$ T_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + \mathbf{u} $$

설명

벡터공간 위에서 작용하는 변환 중 선형변환이 아닌 대표적인 예이다. 따라서 유한차원일 때 행렬로 표현할 수 없다.

$$ T_{\mathbf{u}} (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{v} + \mathbf{w} + \mathbf{u} \ne (\mathbf{v} + \mathbf{u}) + (\mathbf{w} + \mathbf{u}) = T_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) + T_{\mathbf{u}}(\mathbf{w}) $$

평행이동을 포함하는 선형변환을 다루고 싶다면 아핀 변환을 고려해야한다.