대칭 쌍선형 형식
정의
$F$–벡터공간 $V$에 대해서 다음을 만족하는 $B = V \times V \to F$를 대칭 쌍선형 형식symmetric bilinear form이라 한다. $v, u, w \in V$와 $\lambda \in K$에 대해서,
- $B(v, u) = B(u, v)$
- $B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)$
- $B(\lambda u, v) = \lambda B(u, v)$
설명
정의를 풀어쓰면 대칭 쌍선형 형식이란 "벡터 두 개를 스칼라 하나에 대응시키는데, 스칼라의 값이 두 벡터의 순서에 무관한 함수"이다. 유한차원에서 이는 대칭행렬과 같다.
1.은 대칭 함수일 조건, 2.와 3.은 쌍선형 형식일 조건이다.
반대칭 쌍선형 형식
대칭 쌍선형 형식의 반대칭 버전으로, 반대칭 쌍선형 형식skew-symmetric bilinear form이란 다음을 만족하는 $B = V \times V \to F$를 말한다. $v, u, w \in V$와 $\lambda \in K$에 대해서,
- $B(v, u) = -B(u, v)$
- $B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)$
- $B(\lambda u, v) = \lambda B(u, v)$
예시
$n$차원 실수공간 $\mathbb{R}^{n}$의 내적이 대표적인 예이다.
$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_{1}y_{1} + \cdots + x_{n}y_{n} = y_{1}x_{1} + \cdots + y_{n}x_{n} = \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} $$
마찬가지로 실함수공간의 내적도 해당한다.
$$ \braket{f, g} = \int f(x)g(x) dx = \int g(x)f(x) dx = \braket{g, f} $$
내적은 그 정의상 대칭 쌍선형 형식이 되지만, 대칭 쌍선형 형식이라고 내적이 되는 것은 아니다. 가령 $\mathbb{R}^{2n}$ 위에서 아래와 같은 연산을 정의하자.
$$ [\mathbf{x}, \mathbf{y}] = x_{1}y_{1} + \cdots + x_{n}y_{n} - x_{n+1}y_{n+1} - \cdots - x_{2n}y_{2n} $$
이는 대칭 쌍선형 형식이 되지만, 내적이 되지는 않는다. 왜냐하면 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}^{\mathsf{T}} \ne \mathbf{0}$에 대해서 $[\mathbf{x}, \mathbf{x}] = 0$이기 때문이다.