📂표현론

연결 리 군

정의¹

연결 리 군

행렬 리 군 $G$가 연결^connected되어 있다는 것은, 임의의 $A, B \in G$를 잇는 연속인 경로 $p(t) (0 \le t \le 1)$가 $G$ 내에 존재하여 $p(0) = A$, $p(1) = B$를 만족함을 의미한다.

단위 성분

행렬 리 군 $G$에 대해서, $G$의 단위 성분^{identity component}이란 다음을 만족하는 집합을 말한다.

$$ G_{0} := \left\{ A \in G : \text{$A$ has a continuous path $A(t)$, $0 \le t \le 1$, } \right. \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \text{lying in $G$ with $A(0) = I$ and $A(1) = A$} \right\} $$

설명

위상수학의 언어로, 연결 리 군이란 경로연결공간인 행렬 리 군을 말한다. 단위성분의 정의를 쉽게 풀어보면, 항등원에서부터 자기자신까지로 오는 연속인 경로가 존재하는 행렬들의 집합을 말한다. 정의에서 경로의 구간 $[0, 1]$은 $[a, b]$로 일반화할 수도 있지만, 간단함을 위해 여기서는 $[0, 1]$을 택했다. 정의에 의해, 행렬 리 군 $G$가 연결이면 단위성분 $G_0$는 $G$와 같다. 그리고 모든 $A, B \in G$가 단위행렬 $I$와 연결되어있으면, $A \to I \to B$와 같은 식으로 모든 임의의 두 행렬을 연결할 수 있다. 따라서 역도 성립한다.

$$ \text{$G$ is connected } \iff G_{0} = G $$

행렬곱과 역행렬이 연속이므로, 두 경로 $p(t)$, $q(t)$가 연속이면, $p(t)q(t) = A(t)B(t)$와 $p^{-1}(t) = A^{-1}(t)$도 연속이다.

아래의 정리에 따라 단위성분 $G_{0}$는 행렬 리 군 $G$의 부분군인데, 닫힌집합이기도 하므로 사실 행렬 리 군이 된다.

종류

아래의 행렬 리 군들은 연결이다.

• 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$
• 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})$
• 유니터리군 $\operatorname{U}(n)$
• 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$
• 특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$

정리

$G$가 행렬 리 군이면, $G$의 단위 성분 $G_{0}$는 $G$의 정규부분군이다.

증명

$G_{0}$를 행렬 리 군 $G$의 단위 성분이라 하자.

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1단계: $G_{0}$는 $G$의 부분군이다

$A, B \in G_{0}$라고 하자. 그러면 $I$에서 각각 $A$와 $B$를 잇는 연속 경로 $A(t)$와 $B(t)$가 존재한다.

부분군 판정법

군 $G$의 공집합이 아닌 부분집합 $H$에 대해서, 다음의 두 조건을 만족하면 $H$는 $G$의 부분군이다.

1. $a$, $b \in H \implies ab \in H$
2. $a \in H \implies a^{-1} \in H$

부분군 판정법에 의해 $I$에서 $AB$를 잇는 연속경로와 $I$에서 $A^{-1}$를 잇는 연속경로가 존재함을 보이면 된다. $AB(t) = A(t)B(t)$는 연속함수의 곱이므로 여전히 연속이면서 $G$ 위에서 $I$부터 $AB$까지 연결한다. 따라서 $AB \in G_{0}$이다. 또한 $A^{-1}(t)$는 $G$ 위에서 $I$부터 $A^{-1}$까지 연결하는 연속인 경로이다. 따라서 $A^{-1} \in G_{0}$이고, $G_{0}$는 $G$의 부분군이다.

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2단계: $G_{0}$는 $G$의 정규부분군이다

$A \in G_{0}$, 그리고 $B \in G$라고 하자. 그러면 $G$ 위에서 $I$부터 $A$를 잇는 연속 경로 $A(t)$가 존재한다. 그러면 $BA(t)B^{-1}$는 $G$ 위에서 $I$부터 $BAB^{-1}$까지 연결하는 연속인 경로이다. 따라서 $BAB^{-1} \in G_{0}$이고, $G_{0}$는 $G$의 정규부분군이다.

정규부분군 판정

$$ \forall g \in G, \forall h \in H,\quad ghg^{-1} \in H \implies H \triangleleft G $$

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