📂표현론

행렬 리 군

정의¹

• 실수 $\mathbb{R}$을 복소수 $\mathbb{C}$로 두어도 무관하다.

아래의 성질을 만족하는 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 부분군 $G$를 행렬 리 군^{matrix Lie group}이라 한다. $G$의 수열 $\left\{ A_{n} \in G \right\}$에 대해서,

$$ \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A \implies A \in G \text{ or } A \notin \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) $$

위의 수렴은 행렬의 수렴을 의미한다. $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$은 일반선형군이다.

설명

위의 조건은 $G$가 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분집합이어야한다는 것이다. 즉 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군^{closed subgroup}을 행렬 리 군이라 한다. 전체집합은 닫힌집합이므로, $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$은 그 자체로 행렬 리 군이 된다.

종류

• 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$
  일반선형군은 그 자체로 행렬 리 군이다.

• 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$

• 직교군 $\operatorname{O}(n)$

• 특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$

• 유니터리군 $\operatorname{U}(n)$

• 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$