📂표현론

군 대수

정의¹

유한군 $\braket{G, \cdot}$를 기저로 하여 생성되는, 아래와 같은 형식적 합들의 벡터공간을 $G$의 군 대수^{group algebra}라고 한다.

$$ \mathbb{C}[G] = \left\{ \sum_{i} a_{i}g_{i} : a_{i} \in \mathbb{C}, \quad g_{i} \in G \right\} $$

설명

정의에서 말하는 '합' 이란, 군 $G$의 연산이나 대수적 구조와는 전혀 관련 없는 형식적 합^{formal sum}임에 유의하자. 보다 일반적으로는 복소수 $\mathbb{C}$ 대신 임의의 체 $\mathbb{F}$에 대해서도 동일하게 정의할 수 있다.

동치

두 원소 $\sum a_{i}g_{i}$와 $\sum b_{i}g_{i}$가 같다는 것은 각 계수 $a_{i}$와 $b_{i}$가 모두 같다는 것을 의미한다.

$$ \sum_{i} a_{i} g_{i} = \sum_{i} b_{i} g_{i} \iff a_{i} = b_{i} \quad \forall i $$

덧셈

$\mathbb{C}[G]$에는 아래와 같이 자연스러운 덧셈을 생각할 수 있고, $\braket{\mathbb{C}[G], +}$는 그 자체로 다시 가환군이 된다.

$$ \sum_{i} a_{i} g_{i} + \sum_{i} b_{i} g_{i} = \sum_{i} (a_{i} + b_{i}) g_{i} $$

이것을 자연스럽다고 하는 이유는, $G$를 기저로 보았을 때 두 벡터의 합은 두 벡터의 좌표(계수)끼리의 합으로 표현되기 때문이다.

내적

$\mathbb{C}[G]$가 벡터공간, 특히나 유한차원 벡터공간이므로 자연스럽게 아래와 같은 내적을 생각할 수 있다. 즉 $\mathbb{C}[G]$는 내적공간이다.

$$ \Braket{\sum_{i} a_{i} g_{i}, \sum_{i} b_{i} g_{i}} = \sum_{i} a_{i} \overline{b_{i}} $$

곱셈

원래 두 벡터 사이의 곱셈이라는 것은 자연스럽게 정의되지 않는다. 하지만 군 대수 $\mathbb{C}[G]$에서는 $\braket{G, \cdot}$의 곱셈을 이용하여 아래와 같이 곱셈을 정의할 수 있다.

$$ \left( \sum_{i} a_{i} g_{i} \right) \cdot \left( \sum_{j} b_{j} g_{j} \right) = \sum_{k} \left( \sum_{g_{i} \cdot g_{j} = g_{k}} a_{i}b_{j} \right) g_{k} $$

수식이 복잡해 보이지만, 두 다항식의 곱처럼 정의된다는 말이다. $\mathbb{C}[G]$의 곱셈은 일반적으로 교환가능하지 않으며, $G$의 곱셈의 교환가능하면 $\mathbb{C}[G]$의 곱셈도 교환가능하다. 다만 결합법칙은 성립하기 때문에, 결합 대수가 된다.

예시

모듈로군 $\mathbb{Z}_{2}$와 순환군 $\braket{a} = \left\{ e, a \right\}$에 대해서 군 대수 $\mathbb{Z}_{2}[\braket{a}]$를 생각해보자. 이의 원소는 가능한 모든 형식적 합의 꼴이므로 다음과 같다.

$$ 0e + 0a, \quad 1e + 0a, \quad 0e + 1a, \quad 1e + 1a $$

이것을 직관에 따라 간단히 표기하면 다음과 같다.

$$ 0,\quad e, \quad a, \quad e + a $$

덧셈의 결과는 아래의 표와 같다.

$$ \begin{array}{c|cccc} + & 0 & e & a & e + a \\ \hline 0 & 0 & e & a & e + a \\ e & e & 0 & e + a & a \\ a & a & e + a & 0 & e \\ e + a & e + a & a & e & 0 \end{array} $$

곱셈의 경우엔 아래와 같이 계산된다.

$$ \begin{align*} e \cdot a &= (1e + 0a) \cdot (0e + 1a) \\ &= (1\times 0)e\cdot e + (1\times 1)e\cdot a + (0\times 0)a\cdot e + (0\times 1)a\cdot a \\ &= 0e + 1a + 0a + 0e = 1a \end{align*} $$

모든 경우에 대해서 표로 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{array}{c|cccc} \cdot & 0 & e & a & e + a \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ e & 0 & e & a & e + a \\ a & 0 & a & e & e + a \\ e + a & 0 & e + a & e + a & 0 \end{array} $$