📂추상대수

추상대수학에서 중심화

정의¹

군 $G$의 원소 $a \in G$에 대해서, $a$와 교환가능한 원소들의 집합을 중심화^centralizer라 하고 $C(a)$라 표기한다.

$$ C(a) := \left\{ g \in G : ga = ag \right\} $$

성질

• 임의의 $a \in G$에 대해서, $Z(G) \subset C(a)$이다. $Z(G)$는 $G$의 중심이다.
• $G$가 가환군이면, 모든 $a$에 대해서 $C(a) = G$이다. 역도 성립한다.

정리

임의의 $a \in G$에 대해서, $a$의 중심화는 $G$의 부분군이다.

$$ C(a) \le G $$

증명

부분군 판정법

군 $G$의 공집합이 아닌 부분집합 $H$에 대해서, 다음의 두 조건을 만족하면 $H$는 $G$의 부분군이다.

1. $a$, $b \in H \implies ab \in H$
2. $a \in H \implies a^{-1} \in H$

주어진 군 $G$에 대해서 $a \in G$를 임의로 고정하자.

1단계: $C(a) \ne \emptyset$

$C(a)$에 항등원이 포함되어 있는 것은 자명하므로 공집합이 아니다.

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2단계: $b, d \in C(a) \implies bd \in C(a)$

$b, d \in C(a)$라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ (bd)a = b(da) = b(ad) = (ba)d = (ab)d = a(bd) $$

따라서 $bd \in C(a)$이다.

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3단계: $b \in C(a) \implies b^{-1} \in C(a)$

$b \in C(a)$라 하자. 그러면 $ab = ba$가 성립한다. 양변의 앞뒤에 $b^{-1}$를 취해주면,

$$ \begin{align*} && b^{-1}(ab)b^{-1} &= b^{-1}(ba)b^{-1} \\ \implies && b^{-1}a(bb^{-1}) &= (b^{-1}b)ab^{-1} \\ \implies && b^{-1}a &= ab^{-1} \\ \end{align*} $$

따라서 $b^{-1} \in C(a)$이다.

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