양의 작용소
도입
$T$가 자기수반 작용소라고 하자. 그러면 자기수반 작용소의 성질에 의해 다음이 성립한다.
$$ \braket{Tx, x} \in \mathbb{R} $$
즉 위 값이 양수인지 음수인지에 대해서 말할 수 있다. 이를 바탕으로 양의 작용소를 다음과 같이 정의하자.
정의
$H$를 힐베르트 공간, $T: H \to H$를 자기수반 작용소라고 하자. $T$가 다음을 만족할 때 양의 작용소positive operator라 하고, $T \ge 0$이라 표기한다.
$$ \braket{Tx, x} \ge 0, \quad \forall x \in H $$
설명
$H$가 유한차원이면, $T$는 행렬이 되고 $x$는 벡터가 된다. 두 벡터의 내적은 $\braket{x, y} = x^{\ast}y$이므로, 양의 작용소일 조건은 다음과 같다.
$$ \braket{Tx, x} = (Tx)^{\ast} x = x^{\ast} T^{\ast} x = x^{\ast} T x \ge 0 $$
즉 양의 작용소는 양의 정부호행렬의 일반화이다.
성질
(a) 내적의 선형성에 의해, 두 양의 작용소의 합도 양의 작용소이다. $$ T \ge 0, \quad S \ge 0 \implies T + S \ge 0 $$