정규 작용소
정의
힐베르트 공간 $H$와 유계 선형 작용소 $T : H \to H$가 다음을 만족하면 정규(노멀) 작용소normal operator라 한다.
$$ T^{\ast}T = TT^{\ast} $$
$T^{\ast}$는 $T$의 수반 작용소이다.
설명
정의에 의해서 자기수반$(T^{\ast}=T)$이면 정규작용소이고, 유니터리$(T^{\ast}=T^{-1})$이면 정규작용소이다. 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
유한차원에서는, 즉 행렬로 보면 $T^{\ast}$는 $T$의 켤레 전치행렬이다. 즉 정규 작용소는 정규 행렬의 일반화이다.
성질
(a) 두 정규 작용소 $S$와 $T$가 $ST^{\ast} = T^{\ast}S$와 $TS^{\ast} = S^{\ast}T$를 만족한다고 하자. 그러면 합과 곱도 정규 작용소이다. $$ \text{$S+T$ and $ST$ are normal} $$
(b) 복소벡터공간 $H$와 유계선형작용소 $T : H \to H$에 대해서, $T$가 정규작용소인 것은 $\| T^{\ast}x \| = \| Tx \|$ $\forall x \in H$인 것과 동치이다.
(c) 노멀인 $T$에 대해, $\| T^{2} \| = \| T \|^{2}$
증명
(a)
$S + T$가 노멀임을 보이기 위해서는 $(S + T)^{\ast}(S + T) = (S + T)^{\ast}(S + T)$임을 보이면 된다.
$$ \begin{align*} (S + T)^{\ast}(S + T) &= (S^{\ast} + T^{\ast})(S + T) \\ &= S^{\ast}S + T^{\ast}S + S^{\ast}T + T^{\ast}T \\ &= SS^{\ast} + ST^{\ast} + TS^{\ast} + TT^{\ast} \\ &= S(S^{\ast} + T^{\ast}) + T(S^{\ast} + T^{\ast}) \\ &= (S + T)(S^{\ast} + T^{\ast}) \end{align*} $$
$ST$가 노멀임을 보이기 위해서는 $(ST)^{\ast}(ST) = (ST)^{\ast}(ST)$임을 보이면 된다.
$$ \begin{align*} (ST)^{\ast}(ST) &= T^{\ast}S^{\ast} ST = T^{\ast}(S^{\ast}S)T \\ &= T^{\ast}S S^{\ast}T = (T^{\ast}S) (S^{\ast}T) \\ &= (ST^{\ast}) (TS^{\ast}) = S(T^{\ast}T)S^{\ast} \\ &= ST T^{\ast}S^{\ast} \\ &= ST(ST)^{\ast} \end{align*} $$
■
(b)
$(\implies)$ $T$가 정규작용소라고 하자. 그러면 수반작용소와 정규작용소의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \| T^{\ast}x \| = \braket{T^{\ast}x, T^{\ast}x} &= \braket{x, TT^{\ast} x} \\ &= \braket{x, T^{\ast}T x} \\ &= \braket{Tx, Tx} = \| Tx \| \end{align*} \qquad \forall x \in H $$
■
$(\impliedby)$ $\| T^{\ast}x \| = \| Tx \|$ $\forall x \in H$라고 하자. 그러면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} && \braket{T^{\ast}x, T^{\ast}x} &= \braket{Tx, Tx} \\ \implies && \braket{TT^{\ast}x, x} &= \braket{T^{\ast}Tx, x} \\ \implies && \braket{(TT^{\ast} - T^{\ast}T)x, x} &= 0 \end{align*} \qquad \forall x \in H $$
복소벡터공간 $X$에 대해서, $Q : X \to X$가 모든 $x \in X$에 대해서 $\braket{Qx, x} = 0$이면, $Q = 0_{\text{op}}$이다.
영 작용소의 성질에 의해 다음이 성립한다.
$$ TT^{\ast} - T^{\ast}T = 0 \implies TT^{\ast} = T^{\ast}T $$
■
(c)
수반작용소의 성질에 의해서 $\| T^{\ast} T \| = \| T T^{\ast} \| = \| T \|^{2}$가 성립한다. 따라서 $\| TT^{\ast} \| = \| TT \|$인 것을 보이면 된다. (b) 에 의해서, $\forall (Tx) \in H$ $\| T^{\ast}(T x) \| = \| T(Tx) \|$ 가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} \| T^{\ast}T x \| &= \| TTx \| \\ &= \sup\limits_{\| y \| = 1} | \braket{TTx, y} | \\ &\le \sup\limits_{\| y \| = 1} \| TTx \| \| y \| \\ &= \| TTx \| \end{align*} $$
두번째 등호는 내적과 놈의 성질, 세번째 부등호는 코시-슈바르츠 부등식에 의해 성립한다. 작용소 놈$(\| T T \|)$의 정의에 의해 다음을 얻는다.
$$ \| T^{\ast}T x \| \le \| TTx \| \le \| TT \| \| x \| $$
다시 한 번 작용소 놈$(\| T^{\ast} T \|)$의 정의에 의해 다음을 얻는다.
$$ \| T^{\ast} T \| \le \| TT \| $$
비슷한 방식으로 반대 부등식을 아래와 같이 얻는다.
$$ \begin{align*} \| TTx \| &= \| T^{\ast} Tx \| \\ &= \sup\limits_{\| y \| = 1} | \braket{T^{\ast}Tx, y} | \\ &\le \sup\limits_{\| y \| = 1} \| T^{\ast}Tx \| \| y \| \\ &= \| T^{\ast}Tx \| \end{align*} $$
$$ \implies \| TTx \| \le \| T^{\ast}Tx \| \le \| T^{\ast}T \| \| x \| $$
$$ \| TT \| \le \| T^{\ast}T \| $$
그러므로 다음이 성립한다.
$$ \| T^{\ast}T \| \le \| TT \| \le \| T^{\ast}T \| \implies \| T^{\ast}T \| = \| TT \| $$
■