하우스도르프 차원
정의 1
거리공간 $\left( X, d \right)$ 가 주어져 있다고 하자. $S \subset X$ 의 지름diameter $\diam S$ 는 다음과 같이 정의된다. $$ \diam S := \sup \left\{ d (x, y) : x, y \in S \right\} $$
하우스도르프 외측도
$S$ 를 $X$ 의 부분집합이라 하자. 양수 $\delta > 0$ 에 대해 지름이 $\delta$ 보다 작은 $U_{k}$ 들의 합집합 $\cup_{k=1}^{\infty} U_{k}$ 가 $S$ 의 카운터블한 커버링이라고 할 때, $d \ge 0$ 에 대해 $H_{\delta}^{d}$ 를 다음과 같이 정의한다. $$ H_{\delta}^{d} \left( S \right) := \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} \left( \diam U_{k} \right)^{d} : \bigcup_{k=1}^{\infty} U_{k} \supset S \land \diam U_{k} < \delta \right\} $$ 이에 대해 $d$차원 하우스도르프 외측도 $H_{\delta}^{d}$ 를 다음과 같이 정의한다. $$ H^{d} \left( S \right) := \lim_{\delta \to 0} H_{\delta}^{d} \left( S \right) $$
하우스도르프 차원
$S$ 의 하우스도르프 차원Hausdorff dimension을 다음과 같이 정의한다. $$ \dim \left( S \right) := \inf \left\{ d \ge 0 : H^{d} (S) = 0 \right\} $$
설명
수학 전공자가 아니라면 보통 접할 일도 없는 측도론까지 끌고와서 이런 차원을 정의하는 이유는 보편적으로 자기유사 집합처럼 복잡한 구조의 집합에 대해서도 그 크기를 ‘측정’하기 위함이다.
하우스도르프 차원은 박스-카운팅 차원의 원형으로 볼 수 있다. 하우스도르프 차원 그 자체의 정의만 봐서는 너무 추상적이라서 직관적으로 와닿지 않지만, 이후 프랙털 등으로 이어지는 논의까지 접하고 나면 이론적인 측면에서 하우스도르프 차원의 중요성을 알게 된다.