📂미분적분학

미분적분학에서 평균값 정리 증명

정리¹

함수 $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능하면 $\displaystyle f '(c)={{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

설명

그냥 자주 쓰는 정도가 아니라 MVT라는 약어도 사용할 정도로 유명한 정리다. 평균값이라는 말은 미분계수가 전구간의 평균변화율과 같아지는 점이 있다는 센스에서 따온 것이다. 평균이라는 개념이 유용한만큼 다양한 분야에 적용시키기 위해 여러가지 변형 폼이 있다.

증명

$\displaystyle m:= {{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$ 라 두고 $g(x):=f(x)-mx$ 를 정의하면 $g(b)=g(a)$ 이고 $g(x)$ 는 미분가능하다.

롤의 정리

함수 $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능하며 $f(a)=f(b)$ 면 $f ' (c)=0$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

롤의 정리에 의해 $g ' (c)=0$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재하고, $g ' (x)=f ' (x) - m$ 이므로 $g ' (c) = f '(c) - m = 0$ 이다. $f ' (c) -m = 0$ 에서 $(-m)$ 을 이항하면 $\displaystyle f '(c) = m = {{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재함을 알 수 있다.

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같이보기

• 코시의 평균값 정리
• 적분의 평균값 정리
• 가우스의 평균값 정리