📂기하학

평행육면체

정의

쉬운 정의

모든 면이 평행사변형인 육면체를 평행육면체^{parallelepiped}라고 한다.

선형대수적 정의

3차원 좌표공간위의 서로 다른 세 벡터 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$에 대해서, 다음의 집합을 평행육면체라 한다.

$$ R = \left\{ \lambda_{1}\mathbf{a} + \lambda_{2} \mathbf{b} + \lambda_{3} \mathbf{c} : 0\leq \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\leq 1 \right\} $$

설명

평행사변형의 3차원 확장이다. $n$차원으로 확장한 경우에도 같은 방식으로 정의한다.

성질

부피

부피 공식은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} V &= A \times h = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix} \\[2em] &= abc \sqrt{1 + 2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \cos^{2}\alpha - \cos^{2}\beta - \cos^{2}\gamma} \end{align*} $$

이때 $A$는 밑면의 넓이, $h$는 높이, $a$, $b$, $c$는 각각 세 벡터 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$의 크기, $\alpha = \angle(\mathbf{b}, \mathbf{c})$, $\beta = \angle(\mathbf{a}, \mathbf{c})$, $\gamma = \angle(\mathbf{a}, \mathbf{b})$는 세 벡터의 사이의 각도이다.