📂행렬대수

행렬의 직교 닮음과 직교 대각화

정의¹

직교 닮음

두 정방행렬 $A$와 $B$에 대해서, 다음을 만족하는 직교행렬 $P$가 존재하면 $A$와 $B$가 직교 닮음^{orthogonally similar}이라고 한다.

$$ A = P^{\mathsf{T}}BP $$

직교 대각화

정방행렬 $A$가 임의의 대각행렬 $D$와 직교 닮음이면, $A$를 직교 대각화 가능^{orthogonally diagonalizable}하다 혹은 $P$가 $A$를 직교대각화한다고 말한다. 즉, 다음을 만족하는 직교행렬 $P$가 존재하면 $A$는 직교 대각화 가능 행렬이라 한다.

$$ A = P^{\mathsf{T}}DP $$

설명

직교행렬은 $P^{\mathsf{T}} = P^{-1}$이므로, $A$와 $B$가 직교닮음이면 $A$와 $B$는 닮음이다.

정리

(가) 직교대각화가능하면 대각화가능하다. 역은 성립하지 않는다.

$n \times n$ 실수 정방행렬 $A$에 대해서 다음의 조건들은 서로 동치이다.

(a) $A$는 직교 대각화 가능하다.

(b) $A$는 $n$개의 고유벡터로 이루어진 정규직교집합을 가진다.

(c) $A$는 대칭행렬이다.

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(a) $\implies$ (b) 의 따름정리로서, $A$가 직교 대각화가능하여 $A = P^{\mathsf{T}} D P$이면, $D$의 각 대각성분 $d_{ii}$는 $P$의 $i$번째 열벡터에 대응되는 $A$의 고유값이다.

증명

(a) $\implies$ (b)

$n \times n$ 행렬 $A$가 직교 대각화가능하다고 하자. 그러면 다음이 성립하는 직교행렬 $P$가 존재한다.

$$ D = P^{-1} A P $$

$P$의 열벡터들을 $\mathbf{p}_{i}$라 하면, $\mathbf{p}_{i}$들은 선형독립인 고유벡터가 된다. 이때 $P$가 직교행렬이므로, 열벡터들은 정규직교집합을 이룬다.

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위 증명에 이어서 아래의 식을 얻는다.

$$ PD = AP \implies \begin{bmatrix} d_{11} \mathbf{p}_{1} & \cdots & d_{nn} \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \mathbf{p}_{1} & \cdots & A \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

따라서 $D$의 $i$번째 대각성분 $d_{ii}$는 $P$의 $i$번째 열벡터 $\mathbf{p}_{i}$에 대응되는 $A$의 고유값이다.

(b) $\implies$ (c)

$A$가 $n$개의 고유벡터로 이루어진 정규직교집합 $\left\{ \mathbf{p}_{i} \right\}$를 가진다고 하자. 이를 열벡터로 갖는 행렬 $P = \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{1} & \mathbf{p}_{2} & \cdots & \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix}$는 $A$를 대각화시킨다.

$$ A = P^{-1}DP $$

$\left\{ \mathbf{p}_{i} \right\}$가 정규직교집합이므로 $P$는 직교 행렬이다.

$$ A = P^{\mathsf{T}}DP $$

따라서 다음이 성립하고, $A$는 대칭항렬이다.

$$ A^{\mathsf{T}} = (P^{\mathsf{T}}DP)^{\mathsf{T}} = P^{\mathsf{T}}D^{\mathsf{T}}P = P^{\mathsf{T}}DP = A $$

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(c) $\implies$ (a)

$A$가 대칭행렬이면 정규행렬이고, 스펙트럴 정리에 따라 $A$는 유니터리 대각화 가능하다. 유니터리 대각화 가능하면, 직교대각화 가능하다.

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