📂행렬대수

행렬의 대각화

정의¹

정방행렬 $A$가 임의의 대각행렬 $D$와 닮음이면, $A$를 대각화 가능^{diagonalizable}하다 혹은 $P$가 $A$를 대각화한다고 말한다. 즉, 다음을 만족하는 가역행렬 $P$가 존재하면 $A$를 대각화 가능 행렬이라 한다.

$$ A = P^{-1}DP $$

설명

행렬 $A$가 대각화가능하면 거듭제곱을 계산하기 매우 쉬워진다. $A^{k}$을 정직하게 계산하면 행렬곱을 $k-1$번 수행해야한다. $A = PDP^{-1}$이므로, $A^{k} = PD^{k}P^{-1}$이다. 이때 대각행렬의 거듭제곱은 각 대각성분을 거듭제곱한 행렬이므로 $D^{k}$는 쉽게 얻을 수 있고, 행렬곱 $PD^{k}P^{-1}$만 수행하면 되므로 $k-1$번의 행렬곱을 $2$번으로 줄일 수 있다. 즉 임의의 $k$에 대해서도 상수시간으로 $A^{k}$을 계산할 수 있다.

• 대칭행렬의 직교 대각화
• 가역행렬의 고유값 대각화
• 정규행렬의 유니터리 대각화(스펙트럴 정리)

아래의 성질에 의해 대각화 가능한 행렬은, 그 대각행렬의 성분이 고유값이 되므로 고유값 대각화^{diagonalization by eigenvalues} 혹은 고유값 분해^{eigenvalue decomposition}이라고도 한다.

성질

(가) 직교대각화가능하면 대각화가능하다. 역은 성립하지 않는다.

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해서, 다음의 두 진술은 동치이다.

(a) $A$가 대각화가능하다.

(b) $A$는 $n$개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다.

따름정리

$A$의 선형독립인 고유벡터들은 $A$를 대각화할 수 있다.

증명

(가)

직교대각화의 정의에 의해 자명하다. 역이 성립하지 않는 것은 아래의 반례로 알 수 있다. $A$의 고유값은 $2$, $3$이고 이에 대응되는 고유벡터 $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$를 열벡터로 갖는 행렬로 대각화 가능하다. 하지만 대칭행렬이 아니므로 직교대각화는 불가능하다.

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\ne P^{\mathsf{T}} $$

$$ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $$

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(a) $\implies$ (b)

$A$가 대각화 가능하다고 하자. 그러면 정의에 의해 가역행렬 $P$와 대각행렬 $D$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ AP = PD \tag{1} $$

$A$와 $P$의 열벡터를 각각 $\mathbf{a}_{i}$와 $\mathbf{p}_{i}$라 표기하자.

$$ A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \qquad P = \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{1} & \mathbf{p}_{2} & \cdots & \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

행렬 곱

$$ AP = \begin{bmatrix} A\mathbf{p}_{1} & A\mathbf{p}_{2} & \cdots & A\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

대각행렬의 곱

$$ PD = \begin{bmatrix} d_{1}\mathbf{p}_{1} & d_{2}\mathbf{p}_{2} & \cdots & d_{n}\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

$(1)$과 위의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{bmatrix} A\mathbf{p}_{1} & A\mathbf{p}_{2} & \cdots & A\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_{1}\mathbf{p}_{1} & d_{2}\mathbf{p}_{2} & \cdots & d_{n}\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

$$ \implies A\mathbf{p}_{i} = d_{i}\mathbf{p}_{i} \quad \forall i = 1, \dots, n $$

따라서 $\mathbf{p}_{i}$는 $A$의 고유벡터이다.

가역행렬일 동치조건: $n \times n$ 행렬 $P$에 대해서,

$$ \text{$P$가 가역행렬이다 $\iff$ $P$의 열벡터들이 선형독립이다} $$

그리고 가역행렬일 동치조건에 의해, $\mathbf{p}_{1}, \dots, \mathbf{p}_{n}$가 선형독립이다.

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(b) $\implies$ (a)

$A$가 $n$개의 선형독립인 고유벡터 $\mathbf{p}_{i}$를 갖는다고 하자. 고유값을 $\lambda_{i}$라 하면,

$$ A \mathbf{p}_{i} = \lambda_{i} \mathbf{p}_{i} \quad \forall i = 1, \dots, n $$

다음이 성립한다.

$$ \begin{bmatrix} A\mathbf{p}_{1} & A\mathbf{p}_{2} & \cdots & A\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_{1}\mathbf{p}_{1} & \lambda_{2}\mathbf{p}_{2} & \cdots & \lambda_{n}\mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} $$

$D = \diag (\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n})$라 하면 다음이 성립한다.

$$ A\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{1} & \mathbf{p}_{2} & \cdots & \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{1} & \mathbf{p}_{2} & \cdots & \mathbf{p}_{n} \end{bmatrix} D $$

$$ \implies AP = P D $$

$\mathbf{p}_{i}$들은 선형독립이므로 $P$는 가역행렬이고, $A$는 대각화가능하다.

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