📂함수

다항함수의 미분법

공식

다항함수의 도함수는 다음과 같다.

$$\dfrac{d x^{n}}{dx} = n x^{n-1}$$

• $n \in \mathbb{N}$이면, $x \in \mathbb{R}$에서 성립.
• $n \in \mathbb{Z}$이면, $x \ne 0$에서 성립.
• $n \in \mathbb{R}$이면, $x \gt 0$에서 성립.

증명

$n \in \mathbb{N}$

미분계수의 정의에 따라,

$$\dfrac{d x^{n}}{dx} = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^{n} - x^{n}}{h}$$

이항정리:

$$(x + h)^{n} = x^{n} + _{n}\!C_{1} x^{n-1} h + _{n}\!C_2 x^{n-2} h^{2} + \cdots + h^{n}$$

이항정리에 따라서,

$$\begin{align*} \dfrac{d x^{n}}{dx} &= \lim_{h \to 0} \dfrac{(x^{n} + _{n}\!C_{1} x^{n-1} h + _{n}\!C_2 x^{n-2} h^{2} + \cdots + h^{n}) - x^{n}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{_{n}\!C_{1} x^{n-1} h + _{n}\!C_2 x^{n-2} h^{2} + \cdots + h^{n}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( _{n}\!C_{1} x^{n-1} + _{n}\!C_2 x^{n-2} h + \cdots + h^{n-1} \right) \\ &= _{n}\!C_{1} x^{n-1} \\ &= n x^{n-1} \end{align*}$$

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$n \in \mathbb{Z}$

$x \ne 0$이라 하자. $n \in \mathbb{N}$인 경우, $x^{-n} = \dfrac{1}{x^{n}}$이므로,

$$\dfrac{d x^{-n}}{dx} = \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x^{n}} \right)$$

미분가능한 함수의 성질:

$g$가 미분가능하면 $\frac{1}{g}$도 미분가능하고 다음이 성립한다.

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{g} \right) = -\dfrac{g^{\prime}}{g^{2}}$$

위 성질에 의해 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} \dfrac{d x^{-n}}{dx} = \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x^{n}} \right) &= -\dfrac{n x^{n-1}}{x^{2n}} \\ &= -\dfrac{n}{x^{n+1}} \\ &= -n x^{-n-1} \end{align*}$$

■

$n \in \mathbb{R}$

지수함수의 미분법:

$$\dfrac{d \left( e^{f(x)} \right)}{dx} = f^{\prime}(x)e^{f(x)}$$

로그함수의 미분법:

$$\dfrac{d \ln x}{dx} = \dfrac{1}{x}$$

$x \gt 0$이라고 하자. $n \in \mathbb{R}$인 경우, $x^{n} = e^{n \ln x}$이고 지수함수와 로그함수의 미분법에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} \dfrac{d x^{n}}{dx} &= \dfrac{d}{dx} \left( e^{n \ln x} \right) \\[1em] &= \dfrac{d \left(n \ln x \right)}{dx} e^{n \ln x} \\[1em] &= \dfrac{n}{x} e^{n \ln x} \\[1em] &= \dfrac{n}{x} x^{n} \\ &= n x^{n-1} \end{align*}$$

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