군 표현의 등변사상
정의1 2
군 $G$와 두 표현 $\rho_{1} : G \to \operatorname{GL}(V)$, $\rho_{2} : G \to \operatorname{GL}(W)$가 주어졌다고 하자. 두 벡터공간사이의 함수 $f : V \to W$가 다음을 만족하면, $f$가 $G$에 대해 등변equivariant with respect to $G$이라고 한다.
$$ f(\rho_{1}g (v)) = \rho_{2}g(f(v)), \qquad \forall g \in G, v \in V $$
설명
이러한 $f$를 부르는 이름으로는 $G–$등변사상equivariant map, $G–$선형사상linear map,
등변사상이면 정의역에서 변화를 주고 함수에 대입한 것과, 함수에 대입하고 나서 치역에서 변화는 주는 것의 결과가 같다. 쉽게 말해서 주어진 표현과 순서를 바꿔서 적용해도 결과가 같게 나오는 함수를 등변사상이라 한다.
불변 사상
모든 $g$에 대해서 $\rho_{2}g$가 항등함수이면, $f$를 불변invariant이라 한다. 즉, $f$의 함숫값은 정의역에 $G$의 작용을 주어도 변하지 않는다.
$$ f(\rho_{1}g (v)) = f(v), \qquad \forall g \in G, v \in V $$
예시
- $G = \braket{R_{90^{\circ}}} = \left\{ R_{0^{\circ}}, R_{90^{\circ}}, R_{180^{\circ}}, R_{270^{\circ}} \right\}$ 순환 회전군
- $V = \mathbb{R}^{2}$ 좌표평면
- $W = \mathbb{R}^{2}$ 좌표평면
- $\rho_{1}: G \to \operatorname{GL}(V)$는 $$ \rho_{1}(R_{\theta^{\circ}}) = R_{\theta} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$
- $\rho_{2}: G \to \operatorname{GL}(V)$는 $$ \rho_{2}(R_{\theta^{\circ}}) = R_{\theta} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$
- $f : V \to W$는 어떤 $\phi: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$에 대해서 $(x,y)$의 크기를 바꾸는 변한 $f(x,y) = \phi(\|(x, y)\|)(x,y)$
그러면 다음이 성립하므로 $f$는 $G$에 대해 등변이다.
$$ \begin{align*} f(R_{\theta}(x,y)) &= \phi(\|R_{\theta}(x,y)\|)R_{\theta}(x,y) \\ &= \phi(\|(x,y)\|)R_{\theta}(x,y) \\ &= R_{\theta}(\phi(\|(x,y)\|)(x,y)) \\ &= R_{\theta}f(x,y) \end{align*} $$
성질
(a) 두 함수 $f$, $g : V \to W$가 $G$에 대해 등변이면, $f \circ g$도 등변이다.
(b) $\phi : V \to W$가 $G–$등변이면, $\ker \phi$와 $\im \phi$가 부분표현이다. 이때 $\ker \phi$, $\im \phi$는 각각 $\phi$의 커널과 이미지이다.
위의 진술 (b) 는 간략하게 적은 것이고, 최대한 자세히 풀어쓰면 아래와 같다.
(b) 군 $G$에 대해서, 두 표현 $(\rho, V)$와 $(\sigma, W)$가 주어졌다고 하자. 편의상 $\rho_{g} = \rho(g)$라 표기하자. 선형변환 $\phi : V \to W$가 $G–$등변이라고 하자.
$$ \phi(\rho_{g} (v)) = \sigma_{g} (\phi(v)) \quad \forall v \in V, \quad g \in G $$
그러면 $\ker \phi$, $\im \phi$는 각각 $(\rho, V)$와 $(\sigma, W)$의 불변부분공간이다.
$$ \rho_{g} (\ker \phi) \subset \ker \phi \\ \sigma_{g} (\im \phi) \subset \im \phi $$
증명
(b)
$\ker \phi$가 부분표현이다.
W.T.S.: $v \in \ker \phi \implies \rho_{g}(v) \in \ker \phi$
$v \in \ker \phi = \left\{ v : \phi(v) = 0_{W} \right\}$이라고 하자. $0_{W}$는 $W$의 영벡터이다. 그러면, $\phi$가 $G–$불변이므로, 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \phi(\rho_{g}(v)) &= \sigma_{g}(\phi(v)) \\ &= \sigma_{g}(0_{W}) \\ &= 0_{W} \end{align*} $$
$$ \rho_{g}(v) \in \ker \phi $$
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$\im \phi$가 부분표현이다.
W.T.S.: $w \in \im \phi \implies \sigma_{g}(w) \in \im \phi$
$w \in \im \phi$라고 하자. 즉 어떤 $v$에 대해서 $w = \phi(v)$이다. 그러면, $\phi$가 $G–$불변이므로, 다음이 성립한다.
$$ \sigma_{g}(w) = \sigma_{g}(\phi(v)) \\ = \phi(\rho_{g}(v)) $$
$$ \sigma_{g}(w) \in \im \phi $$
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