📂추상대수

군의 표현

정의^{1 2}

군 $G$와 유한차원 벡터공간 $V$가 주어졌다고 하자. $\operatorname{GL}(V)$를 일반선형군이라 하자. 아래와 같은 준동형사상 $\rho$를 $V$위에서의 $G$의 표현^{representation of $G$ on $V$}이라 한다.

$$ \rho : G \to \operatorname{GL}(V) $$

• 정의로부터 '사상 $\rho$는 벡터공간 $V$에 $G$-모듈의 구조를 준다'고 말하기도 한다.
• 순서쌍 $(V, \rho)$ 혹은 $(\rho, V)$로 나타내기도 하고, 간단히 $V$ 자체를 표현이라 하기도 한다.

설명³

정의를 풀어쓰면 다음과 같다. $g, h \in G$에 대해서,

• $\rho(g)$는 선형변환이고 전단사이다.
• $\rho(g h) = \rho(g) \rho(h)$가 성립한다.
  • $\rho(e) = I_{V}$이다. ($e$는 $G$의 항등원, $I_{V}$는 $V$위의 항등변환이다.)
  • $\rho(g^{-1}) = (\rho (g))^{-1}$이다.

한편 직관적으로 보자면, $V$가 $n$차원 실벡터공간이면 $\mathbb{R}^{n}$과 동치이고, $\rho(g) \in \operatorname{GL}(V)$는 $\rho(g) : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$으로 볼 수 있다. 이러한 선형변환에는 대응되는 행렬표현이 존재하므로, $G$의 표현이라함은 $G$에서 $n\times n$ 가역행렬들의 집합으로 가는 준동형사상과 같다.

$$ \rho : G \to \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) = \left\{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} : \det A \ne 0 \right\} $$

즉, 표현이란 군의 원소를 가역행렬로 대응시키는 사상이다. 행렬은 곧 선형변환과 같으므로, 표현은 군의 원소를 마치 함수처럼 취급한다. 표현에 대한 얘기가 나왔다는 것은 이제부터 군의 원소를 함수와 같이 보겠다는 것이다.

동기

표현이라는 것을 정의하고 공부하는 이유는, 반사, 회전, 평행이동, 섞음(순열) 등 군의 원소로서 나타나는 어떤 변환들을 벡터공간에 적용시키기 위함이다. 즉 군의 원소를 벡터공간 위의 선형변환으로 자연스럽게 나타내고 다루기 위함이다. 군 표현에 대한 수학적 성질을 잘 분석해두면 우리가 벡터공간에 적용시키고 싶은 어떤 임의의 선형변환을 잘 구성할 수 있거나, 효율적으로 계산할 수 있거나, 혹은 그 선형변환의 성질을 잘 이해하는데 도움을 줄 수 있다.

가령 벡터 $v$에 어떤 변환 $T$를 가하는데, 이것을 네 번 가하면 다시 $v$가 되도록 아래와 같은 변환을 고려한다고 하자.

$$ T^{4}(v) = v, \quad v \in V $$

이런 경우에는 순환군 $C_{4} = \left\{ e, a, a^{2}, a^{3} \right\}$의 표현 $\rho : C_{4} \to \operatorname{GL}(V)$를 생각할 수 있다. 각각의 $T^{k}$는 아래와 같이 대응된다. 자세한 내용은 아래의 예시를 참고하라.

$$ T = \rho(a), \quad T^{2} = \rho(a^{2}), \quad T^{3} = \rho(a^{3}), \quad T^{4} = \rho(e) = I_{V} $$

그룹 액션

한편 정의를 보고 그룹 액션(작용)이 떠오르는 사람이 있을텐데, 실제로 표현은 작용의 특수한 경우이다.

군 $G$와 집합 $X$에 대해서 다음을 만족하는 이항연산 $\ast : G \times X \to X$를 $X$위의 $G$의 작용^{action of $G$ on $X$}이라 한다.

• $\forall x \in X$, $ex = x$ ($e$는 $G$의 항등원)
• $\forall x \in X$, $\forall g,h \in G$, $(gh)(x) = g(hx)$

작용의 조건에서 $X$를 벡터공간으로 제한하고, 고정된 $g \in G$에 대해서 사상 $\ast : \left\{ g \right\} \times X \to X$를 전단사인 선형변환으로 제한하면 그것이 표현이다. 여기에서도 표기법을 $g \ast x = y$에서 $g(x) = y$로 바꿔서 보면, 군의 원소를 함수로서 바라본다는 것이 잘 드러난다.

자명한 표현

모든 군은 다음과 같은 자명한 표현^{trivial representation}을 갖는다.

$$ \rho : g \mapsto I \qquad \forall g \in G $$

여기서 $I$는 항등행렬이다. 모든 $g, h \in G$에 대해 다음이 성립함을 알 수 있다.

$$ \rho(g h) = I = I I = \rho(g) \rho(h) $$

예시

주기성(순환군의 표현)

벡터공간 $V$의 원소 $v$에 대해서, 다음을 만족하는 선형변환 $T : V \to V$를 생각해보자.

$$ T^{4}(v) = v, \quad \forall v \in V $$

이는 같은 변환을 네 번 가했을 때, 원래의 벡터로 돌아온다는 것이다. 이러한 $T^{k}$는 순환군 $C_{4} = \left\{ e, a, a^{2}, a^{3} \right\}$의 표현 $\rho : C_{4} \to \operatorname{GL}(V)$로 나타낼 수 있다. 각각의 $T^{k}$는 아래와 같이 대응된다.

$$ T = \rho(a), \quad T^{2} = \rho(a^{2}), \quad T^{3} = \rho(a^{3}), \quad T^{4} = \rho(e) = I_{V} $$

$I_{V}$는 $V$ 위의 항등변환이다.

사례1. $V = \mathbb{R}$

$1$차원인 경우를 살펴보자. 이 때는 그저 아래의 $4$차 방정식의 해를 찾는 것과 같다.

$$ \begin{align*} && T^{4} &= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \\ \implies && x^{4} &= 1 \end{align*} $$

이러한 $\rho : C_{4} \to \operatorname{GL}(1, \mathbb{R})$은 아래의 표에 나타나듯 네 가지 경우로 존재한다.

$$ \begin{array}{c|rrrr} & e & a &\ a^{2} & a^{3} \\ \hline \rho_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \rho_{2} & 1 & -1 & 1 & -1 \\ \rho_{3} & 1 & i & -1 & -i \\ \rho_{3} & 1 & -i & -1 & i \\ \end{array} $$

사례2. $V = \mathbb{R}^{2}$

$2$차원인 경우에는 아래와 같이 네 제곱하여 $2 \times 2$ 단위행렬이 되는 행렬 $A$를 찾는 것과 같다.

$$ \begin{align*} && T^{4} &= I_{V} \\ \implies && A^{4} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$

이를 찾는 방법은 여러가지가 있지만, 쉬운 방법으로는 작은 차원의 표현들의 직합으로 나타내는 것이 있다. 즉 $\sigma : C_{4} \to \operatorname{GL}(2, \mathbb{R})$을 아래와 같이 $\rho_{i}$들로 나타낼 수 있다.

$$ \sigma_{1} = \begin{bmatrix} \rho_{1} & 0 \\ 0 & \rho_{2} \end{bmatrix} , \quad \sigma_{2} = \begin{bmatrix} \rho_{4} & 0 \\ 0 & \rho_{3} \end{bmatrix} , \quad \sigma_{3} = \begin{bmatrix} \rho_{3} & 0 \\ 0 & \rho_{1} \end{bmatrix} , \quad \sigma_{4} = \begin{bmatrix} \rho_{2} & 0 \\ 0 & \rho_{3} \end{bmatrix} $$

이런 방법으로 구성할 수 있는 $\sigma$는 총 $_{4}P_{2} = 12$개가 있다. 물론 이것이 모든 표현은 아니다.

섞음(대칭군의 표현)

벡터공간 $\mathbb{R}^{3}$의 벡터 $v$에 대해서, 각 좌표값의 순서를 바꾸는 선형변환을 고려한다고 가정하자. 이는 대칭군 $S_{3}$의 표현으로 나타낼 수 있다. $S_{3}$는 $\left\{ 1, 2, 3 \right\}$에서 $\left\{ 1, 2, 3 \right\}$으로 가는 모든 전단사 함수들의 집합이다.

$$ S_{3} := \left\{ \sigma : \left\{ 1, 2, 3 \right\} \to \left\{ 1, 2, 3 \right\} : \sigma \text{ is bijective} \right\} $$

$S_{3}$는 구체적으로 다음과 같이 총 $_{3}P_{2} = 6$개의 원소를 가진다. 이의 각 원소를 다음과 같이 표기하자.

$$ e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad a^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ b = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad ab = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad a^{2}b = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$

이들은 자연스럽게 각각 다음과 같은 $3 \times 3$ 행렬(=선형변환)에 대응시킬 수 있다.

$$ E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, $$ $$ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A^{2}B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

즉 $S_{3}$의 표현 $\rho : S_{3} \to \operatorname{GL}(3, \mathbb{R})$은 다음과 같은 함수 이다.

$$ \rho = \begin{cases} \epsilon \mapsto E \\ a \mapsto A \\ a^{2} \mapsto A^{2} \\ b \mapsto B \\ ab \mapsto AB \\ a^{2}b \mapsto A^{2}B \end{cases} $$

회전(모듈로군의 표현)

$2$차원 좌표평면에서 벡터를 회전시키는 변환을 생각하자. 이는 회전행렬이라는 이름으로 교과과정에서 쉽게 접할 수 있는 개념이지만, 군의 표현에 익숙해지자는 의미로 살펴보자. 회전에 대한 추상화는 정수 모듈로 군을 통해 나타낼 수 있다. 물론 이는 위에서 살펴본 순환군과 동형이다. 모듈로군 $\mathbb{Z}_{3}$을 생각해보자.

$$ \begin{array}{c|ccc} \mathbb{Z}_{3} & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} $$

이는 평면에서 $120^{\circ}$씩 회전시키는 변환에 대한 추상화이며, 다음과 같은 표현 $\rho : \mathbb{Z}_{3} \to \operatorname{GL}(2, \mathbb{R})$으로 평면에 대한 회전변환을 대응시킬 수 있다.

$$ \rho(n) := \begin{bmatrix} \cos \frac{2\pi n}{3} & -\sin \frac{2\pi n}{3} \\[1em] \sin \frac{2\pi n}{3} & \cos \frac{2\pi n}{3} \end{bmatrix} $$

$$ \rho(0) = R_{0^{\circ}}, \qquad \rho(1) = R_{120^{\circ}}, \qquad \rho(2) = R_{240^{\circ}} $$

같이보기

• 불변 부분공간
• 기약 표현^{irreducible representation}
• 🔒(25/11/28)정칙 표현^{regular representation}
• 등변 사상^{equivariant map}
• 🔒(25/11/24)표현의 직합