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군 작용의 등변사상 📂추상대수

군 작용의 등변사상

정의1 2

$G$와 두 작용 $\ast_{1} : G \times X \to X$, $\ast_{2} : G \times Y \to Y$가 주어졌다고 하자. 두 $G$-집합 사이의 함수 $f : X \to Y$가 다음을 만족하면, $f$를 $G$에 대해 등변equivariant with respect to $G$이라고 한다.

$$ f(g \ast_{1} x) = g \ast_{2} f(x), \qquad \forall g \in G, x \in X $$

설명

쉽게 말해서 정의역에서 변화를 주고 함수에 대입한 것과, 함수에 대입하고 나서 치역에서 변화는 주는 것의 결과가 같다.

예시

다음과 같은 예시를 생각해보자.

  • $G = \braket{\mathbb{Z}, +}$ 정수의 덧셈 군
  • $X = \mathbb{Z}$ 정수 집합
  • $Y = \left\{ 1, 0 \right\}$
  • $\ast_{1} : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$는 덧셈 $g \ast_{1} x = g + x$
  • $\ast_{2} : \mathbb{Z} \times \left\{ 1, 0 \right\} \to \left\{ 1, 0 \right\}$는 다음과 같은 작용, 즉 $g$가 짝수면 $y$를 그대로 두고, $g$가 홀수면 $y$를 반대로 바꿈. $$ g \ast_{2} y = \begin{cases} y & \text{if } g \text{ is even} \\ 1 - y & \text{if } g \text{ is odd} \end{cases} $$
  • $f : \mathbb{Z} \to \left\{ 1, 0 \right\}$는 짝수는 $1$, 홀수는 $0$으로 보내는 함수.

그러면 다음이 성립한다.

$$ f(g \ast_{1} x) = g \ast_{2} f(x), \qquad \forall g \in \mathbb{Z}, x \in \mathbb{Z} $$