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행렬로 보는 크로네커 델타

정의

다음과 같이 정의되는 $\delta_{ij}$를 크로네커 델타라고 한다.

$$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \ne j \end{cases}$$

설명

크로네커 델타는 보통 벡터 계산이 본격적으로 등장하기 시작하는 이공계 학부 2학년 즈음부터 접하게 된다. 익숙해지고나면 복잡한 벡터 계산을 간단한 스칼라 계산으로 바꿔주는 유용한 도구이지만, 처음 접할 때는 그 의미를 이해하기 어려운 경우가 많다. 겉보기에는 함수도 아닌 것 같고, 아랫첨자가 같으면 $1$ 다르면 $0$이라는게 무슨 의미인지 잘 와닿지 않기 때문이다. 교재에서는 잘 설명하지 않는 방법으로 크로네커 델타를 들여다보자.

크로네커 델타를 잘 보면 아랫 첨자가 두 개지요? 아랫첨자가 두 개인 또다른 대상이 생각나는가? 바로 행렬이다. 크로네커 델타 $\delta_{ij}$란 바로 항등행렬(단위행렬) $I$의 $i$행, $j$열의 원소인 것이다.

다시 정의

항등 행렬 $I$의 $i$행, $j$열의 원소를 $\delta_{ij}$로 표기하고, 이를 크로네커 델타라 부른다.

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \end{pmatrix}$$

$$I_{ij} = [I]_{ij} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \ne j \end{cases}$$

공식

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}$라고 하자.

1. 두 벡터의 내적은 크로네커 델타를 이용하여 다음과 같은 쌍선형형식으로 표현된다. $$\begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathsf{T}} I \mathbf{b} &= \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a_{1}\delta_{11} & a_{2}\delta_{22} & a_{3}\delta_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix} \\ &= a_{1}\delta_{11}b_{1} + a_{2}\delta_{22}b_{2} + a_{3}\delta_{33}b_{3} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{3} \delta_{ii}a_{i}b_{i} = \delta_{ii}a_{i}b_{i} \\ \end{align*}$$

   마지막 등호는 아인슈타인 표기법을 사용한 것이다.

2. 아인슈타인 표기법을 사용하여, 다음의 공식이 성립한다. $$\begin{align*} \delta_{ii} &= 3 \tag{2.1} \\ \delta_{ij}\delta_{jk} &= \delta_{ik} \tag{2.2} \\ \delta_{ii}\delta_{jj} &= 9 \tag{2.3} \\ \delta_{ii}\delta_{jj} &= 6 (i \ne j)\tag{2.4} \end{align*}$$

   2.1. $\delta_{ii} = \sum\delta_{ii}$는 항등행렬의 모든 대각성분의 합, 즉 트레이스이다.

   $$\delta_{ii} = \Tr (I) = 1 + 1 + 1 = 3$$

   2.2. 두 행렬 $A =[a_{ij}]$, $B = [b_{ij}]$의 행렬곱 $AB$의 $i$행 $k$열 성분은 다음과 같다

   $$[AB]_{ik} = \sum\limits_{j} a_{ij}b_{jk} = a_{ij}b_{jk}$$

   따라서 $\delta_{ij}\delta_{jk}$는 두 항등행렬의 곱의 $i$행 $k$열 성분과 같다. 두 항등행렬의 곱은 항등행렬이므로 이는 곧 항등행렬의 $i$행 $k$행 성분, 즉 $\delta_{ik}$와 같다.

   2.3. 두 항등행렬의 트레이스를 곱한 것이므로, $$\delta_{ii}\delta_{jj} = \left( \sum_{i}\delta_{ii} \right) \left( \sum_{j}\delta_{jj} \right) = \Tr(I) \Tr(I) = 3 \times 3 = 9$$