주어진 전단사 함수 f:X→Yf: X \to Yf:X→Y에 대해서, fff의 역함수inverse function는 다음과 같이 정의된다.
f−1:Y→X,f−1(y)=x ⟺ f(x)=y f^{-1} : Y \to X, \quad f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y f−1:Y→X,f−1(y)=x⟺f(x)=y
정의에 의해 fff는 f−1f^{-1}f−1의 역함수이다.
f=(f−1)−1 f = (f^{-1})^{-1} f=(f−1)−1
f∘f−1f \circ f^{-1}f∘f−1와 f−1∘ff^{-1} \circ ff−1∘f는 YYY와 XXX 위에서의 항등함수IYI_{Y}IY, IXI_{X}IX이다.
f∘f−1:Y→Y,f∘f−1(y)=y∀y∈Y f \circ f^{-1} : Y \to Y, \quad f \circ f^{-1}(y) = y \quad \forall y \in Y f∘f−1:Y→Y,f∘f−1(y)=y∀y∈Y
f−1∘f:X→X,f−1∘f(x)=x∀x∈X f^{-1} \circ f : X \to X, \quad f^{-1} \circ f(x) = x \quad \forall x \in X f−1∘f:X→X,f−1∘f(x)=x∀x∈X
