📂함수

역함수

정의

주어진 전단사 함수 $f: X \to Y$에 대해서, $f$의 역함수^{inverse function}는 다음과 같이 정의된다.

$$f^{-1} : Y \to X, \quad f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$$

역함수가 존재하는 함수를 가역 함수^{invertible function}라 한다.

설명

정의에 의해 $f$는 $f^{-1}$의 역함수이다.

$$f = (f^{-1})^{-1}$$

$f \circ f^{-1}$와 $f^{-1} \circ f$는 $Y$와 $X$ 위에서의 항등함수$I_{Y}$, $I_{X}$이다.

$$f \circ f^{-1} : Y \to Y, \quad f \circ f^{-1}(y) = y \quad \forall y \in Y$$

$$f^{-1} \circ f : X \to X, \quad f^{-1} \circ f(x) = x \quad \forall x \in X$$