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기하평균

정의

두 양수 $a, b$에 대해서 다음의 값을 $a$와 $b$의 기하평균^{geometric mean}이라 한다.

$$\sqrt{ab}$$

일반화

$n$개의 양수 $a_{1}, \dots, a_{n}$에 대해서, 다음의 값을 $a_{1}, \dots, a_{n}$의 기하평균이라 한다.

$$\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$$

설명

만약 복소수복소수 까지의 확장을 염두해둔다면, $a_{i}$들은 꼭 양수가 아니어도 상관없을 것이다.

기하 평균을 처음 접하는 사람은 아마 다음과 같은 의문을 가지지 않을 수 없을거다.

두 수를 곱해서 제곱근을 취하는 것이 어떻게 기하와 평균과 관련있는가?

왜 평균일까?

우리가 흔히 평균이라는 말을 사용할 때 그 의미는 산술평균으로, 두 수 $a$와 $b$의 산술평균은 아래와 같다.

$$\dfrac{a+b}{2} = c$$

학창시절 평균이라는 말은 아마 시험기간에 가장 많이 사용될텐데, 가령 평균이 87점이라는 말은 전 과목에서 87점을 받은 것과 같다는 의미이다. 이게 평균의 핵심인데, 각 과목의 점수를 다 더한 것이, 87만 같은 횟수로 더한 것과 같다는 거다. 위의 식은 다시 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$a + b = 2c = c + c$$

이 수식이 의미하는 바는 "두 수$(a, b)$를 더한 값$(a+b)$의 평균이라는 것은, 같은 숫자$(c)$를 두 번 더하여 두 수를 더한 값$(a+b)$이 되게하는 수$(c)$"인 것이다. 이를 그대로 곱셈에 적용해보면 아래와 같다.

같은 수를 두 번 곱했을때 다른 두 수의 곱과 같다면, 그 같은 수를 두 수의 평균이라 부른다.

$$ab = cc \implies c = \sqrt{ab}\ \text{ is (geometric) mean.}$$

왜 기하일까?

간단히 말하자면 곱하기는 넓이와 관련이 있기 때문이다. 두 수 $a$와 $b$가 단순히 숫자가 아니라 어떤 직사각형의 두 변의 길이라고 해보자. 그리고 기하평균을 $c = \sqrt{ab}$라고 하면 다음이 성립한다.

$$ab = cc = c^{2}$$

따라서 $a$와 $b$의 기하평균이라는 것은, "각 변의 길이가 $a$와 $b$인 직사각형의 넓이와 같은 넓이가 되도록 하는 정사각형의 한 변의 길이"인 것이다. 예로부터 땅의 면적을 재거나 어림하는 것은 매우 중요한 문제였다(특히 세금과 관련이 있으므로). 그 크기를 어림하는데에는 당연히 직사각형보다 정사각형을 생각하는 것이 더 직관적었을거고, 그래서 자연스럽게 넓이의 평균에 대한 개념을 많이 써오며 이에 기하 평균이라는 이름이 붙었을거다. 집의 구조가 어떻게 생겼든 "그래서 몇 평인데?"라는 질문으로 그 집을 대략적으로 알 수 있듯이, 논이나 밭이 어떻게 생겨먹었어도 "그래서 기하평균이 몇인데?"라고 물어보면 그 면적을 파악하기 쉬운 것이다.