베르누이 분포의 평균과 분산
공식
$X \sim$ $\operatorname{Bin}(1, p)$일 때, $X$의 평균과 분산은 각각 아래와 같다.
$$ E(X) = p $$
$$ \Var(X) = p(1-p) = pq, \qquad q = 1 - p $$
증명
$p \in [0, 1]$에 대해, 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 이산확률분포를 베르누이 분포Bernoulli distribution라고 한다.
$$ f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \qquad x = 0, 1 $$
직접 계산
기댓값의 정의에 의해,
$$ \begin{align*} E(X) &= \sum\limits_{x = 0, 1} x f(x) \\ &= 0 \cdot f(0) + 1 \cdot f(1) \\ &= 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p \\ &= p \end{align*} $$
분산을 얻기 위해 $E(X^{2})$를 계산하자.
$$ \begin{align*} E(X^{2}) &= \sum\limits_{x = 0, 1} x^{2} f(x) \\ &= 0^{2} \cdot f(0) + 1^{2} \cdot f(1) \\ &= 0^{2} \cdot (1-p) + 1^{2} \cdot p \\ &= p \end{align*} $$
분산은 $\Var(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2}$이므로,
$$ \Var(X) = p - p^{2} = p(1-p) = pq $$
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적률생성함수로부터
베르누이 분포의 적률생성함수는 다음과 같다.
$$ m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t} $$
기댓값은 $m^{\prime}(0)$이므로,
$$ E(X) = m^{\prime}(0) = pe^{t}|_{t=0} = p $$
분산을 구하기 위해 $m^{\prime\prime}(0)$를 계산하자.
$$ m^{\prime\prime}(t) = p e^{t}|_{t=0} = p $$
분산은 $\Var(X) = m^{\prime\prime}(0) - m^{\prime}(0)^{2}$이므로,
$$ \Var(X) = p - p^{2} = p(1-p) = pq $$
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