📂확률분포론

베르누이 분포

정의¹

$p \in [0, 1]$에 대해, 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 이산확률분포를 베르누이 분포^{Bernoulli distribution}라고 한다.

$$ f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \qquad x = 0, 1 $$

설명

동전 던지기와 같이 가능한 결과가 두 가지인 행위를 한 번 시도하는 경우를 묘사할 때 사용한다. 경우의 수가 두 가지이기 때문에, 흔히 $x = 1$을 성공, $x = 0$을 실패라 한다. 그리고 $p$를 성공 확률, $q = 1 - p$를 실패확률이라고 한다. 이렇게 경우의 수가 두 가지인 실험을 한 번 실시하는 것을 베르누이 시행^{Bernoulli trial}이라고 한다.

시행 횟수를 $n$회로 일반화하면 이항 분포가 되며, 반대로 베르누이 분포는 이항 분포에서 $n = 1$인 특수한 경우인 $\operatorname{Bin}(1, p)$로 볼 수 있다.

가능한 결과(범주)를 두 가지에서 $k$가지로 일반화한 것은 카테고리 분포이며, 시행 횟수와 범주를 모두 일반화한 것이 다항 분포이다.

범주 시행횟수	$1$번	$n$번
$2$개	베르누이 분포	이항 분포
$k$개	카테고리 분포	다항 분포

기초 성질

적률생성함수

베르누이 분포의 적률생성함수는 다음과 같다.

$$ m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}, \qquad q = 1 - p $$

평균과 분산

$X \sim \operatorname{Bin}(1, p)$이면,

$$ E(X) = p $$ $$ \Var(X) = p(1-p) = pq, \qquad q = 1 - p $$