라플라스 분포의 적률생성함수
공식
$X \sim$ $\operatorname{Laplace}(\mu, b)$일 때, $X$의 적률생성함수는 아래와 같다.
$$ m(t) = \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \qquad \text{for } |t| < \dfrac{1}{b} $$
증명
적률생성함수의 정의에 의해,
$$ \begin{align*} E(e^{tX}) &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \dfrac{1}{2b} e^{-|x - \mu|/b} dx \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{ty} e^{-a|y|} dx \qquad (y \equiv x - \mu, \quad a \equiv 1/b) \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \left( \int\limits_{-\infty}^{0} e^{(t+a)y} dx + \int\limits_{0}^{\infty} e^{(t-a)y} dx \right) \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \left( \left[ \dfrac{1}{t+a}e^{(t+a)y} \right]_{-\infty}^{0} + \left[ \dfrac{1}{t-a}e^{(t-a)y} \right]_{0}^{\infty} \right) \\ \end{align*} $$
여기서 첫번째 정적분은 $t + a \lt 0$일 때 수렴하고, 두번째 정적분은 $t - a \gt 0$일 때 수렴한다. 따라서 $|t| < a$일 때 적분 가능하다.
$$ \begin{align*} E(e^{tX}) &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \left( \left[ \dfrac{1}{t+a}e^{(t+a)y} \right]_{-\infty}^{0} + \left[ \dfrac{1}{t-a}e^{(t-a)y} \right]_{0}^{\infty} \right) \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \left( \dfrac{1}{t+a} - \dfrac{1}{t-a} \right) & \text{for } |t| < a \\ &= \dfrac{a}{2}e^{\mu t} \dfrac{-2a}{t^{2} - a^{2}} & \text{for } |t| < a \\ &= \dfrac{a^{2}}{a^{2} - t^{2}}e^{\mu t} & \text{for } |t| < a \\ &= \dfrac{1}{b^{2}}\dfrac{1}{1/b^{2} - t^{2}}e^{\mu t} & \text{for } |t| < \dfrac{1}{b} \\ &= \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}}e^{\mu t} & \text{for } |t| < \dfrac{1}{b} \\ \end{align*} $$
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