라플라스 분포의 평균과 분산
공식
$X \sim$ $\operatorname{Laplace}(\mu, b)$일 때, $X$의 평균과 분산은 각각 아래와 같다.
$$ E(X) = \mu $$ $$ \Var(X) = 2b^{2} $$
증명
직접 계산
$$ \begin{align*} E(X) &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x \dfrac{1}{2b} e^{-|x - \mu|/b} dx \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\mu} \dfrac{x}{2b} e^{(x - \mu)/b} dx + \int\limits_{\mu}^{\infty} \dfrac{x}{2b} e^{-(x - \mu)/b} dx \\ &= \left( \left[\dfrac{x}{2b}\left(b e^{(x - \mu)/b}\right)\right]_{-\infty}^{\mu} - \int\limits_{-\infty}^{\mu} \dfrac{1}{2} e^{(x - \mu)/b} dx \right) \\ &\qquad+ \left( \left[\dfrac{x}{2b}\left(-b e^{-(x - \mu)/b}\right)\right]_{\mu}^{\infty} + \int\limits_{\mu}^{\infty} \dfrac{1}{2} e^{-(x - \mu)/b} dx \right) \\ &= \left( \dfrac{\mu}{2} - \left[ \dfrac{b}{2} e^{(x - \mu)/b} \right]_{-\infty}^{\mu} \right) + \left( \dfrac{\mu}{2} + \left[ -\dfrac{b}{2} e^{-(x-\mu)/b} \right]_{\mu}^{\infty} \right) \\ &= \left( \dfrac{\mu}{2} - \dfrac{b}{2} \right) + \left( \dfrac{\mu}{2} + \dfrac{b}{2} \right) \\ &= \mu \end{align*} $$
분산을 얻기 위해 $E(X^{2})$를 계산하자.
$$ \begin{align*} E(X^{2}) &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{2} \dfrac{1}{2b} e^{-|x - \mu|/b} dx \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\mu} \dfrac{x^{2}}{2b} e^{(x - \mu)/b} dx + \int\limits_{\mu}^{\infty} \dfrac{x^{2}}{2b} e^{-(x - \mu)/b} dx \\ &= \left( \left[\dfrac{x^{2}}{2}\left( e^{(x - \mu)/b}\right)\right]_{-\infty}^{\mu} - \int\limits_{-\infty}^{\mu} x e^{(x - \mu)/b} dx \right) \\ &\qquad+ \left( \left[ - \dfrac{x^{2}}{2} e^{-(x - \mu)/b}\right]_{\mu}^{\infty} + \int\limits_{\mu}^{\infty} x e^{-(x - \mu)/b} dx \right) \\ &= \left[ \dfrac{\mu^{2}}{2} - (\mu b - b^{2}) \right] + \left[ \dfrac{\mu^{2}}{2} + (\mu b - b^{2}) \right] \\ &= \mu^{2} + 2b^{2} \end{align*} $$
세번째 등호는 부분적분법, 네번째 등호에서는 기댓값에서 계산한 적분 결과를 이용하였다. 분산은 $\Var(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2}$이므로,
$$ \Var(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = \mu^{2} + 2b^{2} - \mu^{2} = 2b^{2} $$
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적률생성함수로부터
라플라스분포의 적률생성함수는 다음과 같다.
$$ m(t) = \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \qquad \text{for } |t| < \dfrac{1}{b} $$
기댓값은 $m^{\prime}(0)$이므로 미분해보면,
$$ \begin{align*} m^{\prime}(t) &= \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} \right) e^{\mu t} + \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} \dfrac{d}{dt} e^{\mu t} \\ &= \dfrac{d}{d(1-b^{2}t^{2})} \left( \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} \right) \dfrac{d(1-b^{2}t^{2})}{dt} e^{\mu t} + \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} \mu e^{\mu t} \\ &= \dfrac{2b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} + \dfrac{\mu}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \end{align*} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ E(X) = m^{\prime}(0) = \mu $$
분산을 구하기위해 한 번 더 미분해보면,
$$ m^{\prime\prime}(t) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{2b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} + \dfrac{\mu}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \right) $$
두번째 항의 미분은 위의 결과로부터 바로 얻을 수 있다.
$$ m^{\prime\prime}(t) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{2b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} \right) + \dfrac{2\mu b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} + \dfrac{\mu^{2}}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} $$
첫번째 항을 미분하면 $\dfrac{2b^{2}}{(1-b^{2}t^{2})^{2}}e^{\mu t}$와 $t=0$을 대입했을 때 $0$이되는 항들이 생기는 것을 알 수 있다. 따라서,
$$ \begin{align*} m^{\prime\prime}(0) &= \left. \dfrac{2b^{2}}{(1-b^{2}t^{2})^{2}}e^{\mu t} + \dfrac{2\mu b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} + \dfrac{\mu^{2}}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \right|_{t=0} \\ &= 2b^{2} + \mu^{2} \\ \end{align*} $$
그러므로 분산은 다음과 같다.
$$ \Var(X) = E(X^{2}) - (E(X))^{2} = m^{\prime\prime}(0) - (m^{\prime}(0))^{2} = 2b^{2} $$
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