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라플라스 분포의 평균과 분산 📂확률분포론

라플라스 분포의 평균과 분산

공식

X∼X \sim Laplace⁡(μ,b)\operatorname{Laplace}(\mu, b)일 때, XX의 평균과 분산은 각각 아래와 같다.

E(X)=μ E(X) = \mu Var⁡(X)=2b2 \Var(X) = 2b^{2}

증명

직접 계산

기댓값의 정의와 부분적분법에 의해,

E(X)=∫−∞∞x12be−∣x−μ∣/bdx=∫−∞μx2be(x−μ)/bdx+∫μ∞x2be−(x−μ)/bdx=([x2b(be(x−μ)/b)]−∞μ−∫−∞μ12e(x−μ)/bdx)+([x2b(−be−(x−μ)/b)]μ∞+∫μ∞12e−(x−μ)/bdx)=(μ2−[b2e(x−μ)/b]−∞μ)+(μ2+[−b2e−(x−μ)/b]μ∞)=(μ2−b2)+(μ2+b2)=μ \begin{align*} E(X) &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x \dfrac{1}{2b} e^{-|x - \mu|/b} dx \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\mu} \dfrac{x}{2b} e^{(x - \mu)/b} dx + \int\limits_{\mu}^{\infty} \dfrac{x}{2b} e^{-(x - \mu)/b} dx \\ &= \left( \left[\dfrac{x}{2b}\left(b e^{(x - \mu)/b}\right)\right]_{-\infty}^{\mu} - \int\limits_{-\infty}^{\mu} \dfrac{1}{2} e^{(x - \mu)/b} dx \right) \\ &\qquad+ \left( \left[\dfrac{x}{2b}\left(-b e^{-(x - \mu)/b}\right)\right]_{\mu}^{\infty} + \int\limits_{\mu}^{\infty} \dfrac{1}{2} e^{-(x - \mu)/b} dx \right) \\ &= \left( \dfrac{\mu}{2} - \left[ \dfrac{b}{2} e^{(x - \mu)/b} \right]_{-\infty}^{\mu} \right) + \left( \dfrac{\mu}{2} + \left[ -\dfrac{b}{2} e^{-(x-\mu)/b} \right]_{\mu}^{\infty} \right) \\ &= \left( \dfrac{\mu}{2} - \dfrac{b}{2} \right) + \left( \dfrac{\mu}{2} + \dfrac{b}{2} \right) \\ &= \mu \end{align*}

분산을 얻기 위해 E(X2)E(X^{2})를 계산하자.

E(X2)=∫−∞∞x212be−∣x−μ∣/bdx=∫−∞μx22be(x−μ)/bdx+∫μ∞x22be−(x−μ)/bdx=([x22(e(x−μ)/b)]−∞μ−∫−∞μxe(x−μ)/bdx)+([−x22e−(x−μ)/b]μ∞+∫μ∞xe−(x−μ)/bdx)=[μ22−(μb−b2)]+[μ22+(μb−b2)]=μ2+2b2 \begin{align*} E(X^{2}) &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{2} \dfrac{1}{2b} e^{-|x - \mu|/b} dx \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\mu} \dfrac{x^{2}}{2b} e^{(x - \mu)/b} dx + \int\limits_{\mu}^{\infty} \dfrac{x^{2}}{2b} e^{-(x - \mu)/b} dx \\ &= \left( \left[\dfrac{x^{2}}{2}\left( e^{(x - \mu)/b}\right)\right]_{-\infty}^{\mu} - \int\limits_{-\infty}^{\mu} x e^{(x - \mu)/b} dx \right) \\ &\qquad+ \left( \left[ - \dfrac{x^{2}}{2} e^{-(x - \mu)/b}\right]_{\mu}^{\infty} + \int\limits_{\mu}^{\infty} x e^{-(x - \mu)/b} dx \right) \\ &= \left[ \dfrac{\mu^{2}}{2} - (\mu b - b^{2}) \right] + \left[ \dfrac{\mu^{2}}{2} + (\mu b - b^{2}) \right] \\ &= \mu^{2} + 2b^{2} \end{align*}

세번째 등호는 부분적분법, 네번째 등호에서는 기댓값에서 계산한 적분 결과를 이용하였다. 분산은 Var⁡(X)=E(X2)−E(X)2\Var(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2}이므로,

Var⁡(X)=E(X2)−E(X)2=μ2+2b2−μ2=2b2 \Var(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = \mu^{2} + 2b^{2} - \mu^{2} = 2b^{2}

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적률생성함수로부터

라플라스분포의 적률생성함수는 다음과 같다.

m(t)=11−b2t2eμtfor ∣t∣<1b m(t) = \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \qquad \text{for } |t| < \dfrac{1}{b}

기댓값은 m′(0)m^{\prime}(0)이므로 미분해보면,

m′(t)=ddt(11−b2t2)eμt+11−b2t2ddteμt=dd(1−b2t2)(11−b2t2)d(1−b2t2)dteμt+11−b2t2μeμt=2b2t(1−b2t2)2eμt+μ1−b2t2eμt \begin{align*} m^{\prime}(t) &= \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} \right) e^{\mu t} + \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} \dfrac{d}{dt} e^{\mu t} \\ &= \dfrac{d}{d(1-b^{2}t^{2})} \left( \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} \right) \dfrac{d(1-b^{2}t^{2})}{dt} e^{\mu t} + \dfrac{1}{1 - b^{2}t^{2}} \mu e^{\mu t} \\ &= \dfrac{2b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} + \dfrac{\mu}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \end{align*}

따라서 다음을 얻는다.

E(X)=m′(0)=μ E(X) = m^{\prime}(0) = \mu

분산을 구하기위해 한 번 더 미분해보면,

m′′(t)=ddt(2b2t(1−b2t2)2eμt+μ1−b2t2eμt) m^{\prime\prime}(t) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{2b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} + \dfrac{\mu}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \right)

두번째 항의 미분은 위의 결과로부터 바로 얻을 수 있다.

m′′(t)=ddt(2b2t(1−b2t2)2eμt)+2μb2t(1−b2t2)2eμt+μ21−b2t2eμt m^{\prime\prime}(t) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{2b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} \right) + \dfrac{2\mu b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} + \dfrac{\mu^{2}}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t}

첫번째 항을 미분하면 2b2(1−b2t2)2eμt\dfrac{2b^{2}}{(1-b^{2}t^{2})^{2}}e^{\mu t}와 t=0t=0을 대입했을 때 00이되는 항들이 생기는 것을 알 수 있다. 따라서,

m′′(0)=2b2(1−b2t2)2eμt+2μb2t(1−b2t2)2eμt+μ21−b2t2eμt∣t=0=2b2+μ2 \begin{align*} m^{\prime\prime}(0) &= \left. \dfrac{2b^{2}}{(1-b^{2}t^{2})^{2}}e^{\mu t} + \dfrac{2\mu b^{2}t}{(1 - b^{2}t^{2})^{2}} e^{\mu t} + \dfrac{\mu^{2}}{1 - b^{2}t^{2}} e^{\mu t} \right|_{t=0} \\ &= 2b^{2} + \mu^{2} \\ \end{align*}

그러므로 분산은 다음과 같다.

Var⁡(X)=E(X2)−(E(X))2=m′′(0)−(m′(0))2=2b2 \Var(X) = E(X^{2}) - (E(X))^{2} = m^{\prime\prime}(0) - (m^{\prime}(0))^{2} = 2b^{2}

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