📂고전역학

지구의 중력, 중력가속도

정의

중력에 의해 운동하는 물체의 가속도를 중력 가속도^{gravitational acceleration}라 한다.

물체가 (마찰력, 공기 저항 등의 다른 외력 없이) 지구 중력의 영향만으로 움직일 때, 이 운동을 자유낙하운동^{free fall (motion)}이라 한다.

설명

간단히 중력, 중력장이라고 표현하는 경우는 대개 지구의 중력을 의미한다. 지구의 중력 가속도는 약 $9.8 \mathrm{m/s^{2}}$이며 흔히 $g$로 표기한다. 이 값은 물체의 질량과 무관하다.

다른 외력 없이 중력에 의해서만 물체가 움직이는 것을 자유낙하운동이라 한다. 즉, 중력가속도로 가속하는 물체의 운동을 말한다.

일상 생활에서 많이 쓰는 단어인 무게^{weight, 중량}란, 물체가 받는 중력의 크기를 말한다. 다시 말해 지구의 중력 가속도를 $g$라할 때, 지표면 근처에서 질량이 $m$인 물체의 무게는 $mg$이다.

지구의 중력 가속도¹

편의를 위해 지구를 구형이라 가정하고, 질량이 $m$인 물체가 지표면에서 $h$만큼 떨어져있다고 하자. 이 물체가 지구로부터 받는 중력의 크기는 만유인력의 법칙에 의해 다음과 같다.

$$F = G \dfrac{M_{E} m}{(R_{E} + h)^{2}} \tag{1}$$

이때 $G$는 중력 상수, $M_{E}$는 지구의 질량, $R_{E}$는 지구의 반지름이다. 중력에 의한 물체의 가속도를 $g$라고 표기하자. 뉴턴의 제2 법칙에 의해 물체의 운동은 다음과 같이 표현된다.

$$F = mg \tag{2}$$

따라서 $(1)$과 $(2)$로부터 다음의 식을 얻는다.

$$mg = G \dfrac{M_{E} m}{(R_{E} + h)^{2}} \implies g = G \dfrac{M_{E}}{(R_{E} + h)^{2}}$$

위 식으로부터 중력 가속도는 운동하는 물체의 질량과 무관하다다는 것을 알 수 있다. 물체가 지표면으로부터 떨어진 거리(높이) $h$는 지구 반지름 $R_{E}$에 비하면 무시할 수 있을 정도로 아주 작은 값이다. 따라서 다시 아래와 같이 둘 수 있다.

$$g = G \dfrac{M_{E}}{R_{E}^{2}}$$

이들은 모두 상수이므로 대입해서 계산하면 다음을 얻는다.

$$g = G \dfrac{M_{E}}{R_{E}^{2}} = \dfrac{(6.67 \cdot 10^{-11}\mathrm{m^{3}kg^{-1}/s^{2}}) (5.97\cdot 10^{24} \mathrm{kg})}{(6.37 \cdot 10^{6} \mathrm{m})^{2}} = 9.81344\mathrm{}$$