라게르 다항함수
정의
라게르 다항식Laguerre polynomial은 다음과 같은 방법들로 정의된다.
미분방정식의 해로서
아래와 같은 라게르 미분방정식의 해를 라게르 다항함수라 한다.
$$ xy^{\prime \prime} + (1-x)y^{\prime} + ny = 0, \quad n=0,1,2,\cdots $$
로드리게스 공식
다음과 같은 함수 $L_{n}$을 라게르 다항식이라 한다.
$$ L_{n}(x) = \frac{1}{n!}e^{x}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x}) \tag{1} $$
위 공식을 로드리게스 공식이라 한다.
설명
정의에 의해 $L_{n}$은 다항'함수'가 맞으나 관습적으로 라게르 '다항식'이라 부른다. 한국어로만 그런 것이 아니라 영어 표현도 polynomial function이 아닌 Laguerre polynomial이다.
$(1)$에 의해 $L_{n}$은 $n$차 다항식임을 알 수 있다. 처음 몇 개의 라게르 다항식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L_{0}(x) &= 1 \\ L_{1}(x) &= -x+1 \\ L_{2}(x) &= \frac{1}{2}\left( x^{2}-4x+2 \right) \\ L_{3}(x) &= \frac{1}{6}\left( -x^{3}+9x^{2}-18x+6 \right) \\ \vdots & \end{align*} $$
라게르 다항함수의 근은 수치해석에서 이상적분을 계산하기위한 노드로 사용된다.