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프레드홀 적분 방정식

정의¹

다음의 적분 방정식을 제1 종 프레드홀름 적분 방정식^{Fredholm Integral Equation of the first kind}이라 부른다.

$$ g(s) = \int K(s, t) f(t) dt \tag{1} $$

이때 $K$를 커널^kernel이라 한다. 다음의 꼴을 제2 종 프레드홀름 적분 방정식이라 한다.

$$ g(s) = f(s) + \int K(s, t) f(t) dt \tag{2} $$

설명

적분 방정식 $(1), (2)$를 푼다는 것은, 대개 주어진 $g$와 $K$에 대해서 $(1), (2)$를 만족하는 $f$를 찾는 것을 말한다. 이는 이미 계산된 결과 $g$가 주어져있을 때, 원인 $f$를 찾는 역문제이다. 주어진 함수에 따라 적분 자체도 어려운 경우가 많은데, 이를 거꾸로 푸는 것이 어려운 것은 말해봐야 입만 아프다. 정적분값 $3$이 주어졌을 때, 다음을 만족하는 $f$는 무수히 많다는 것을 쉽게 알 수 있다.

$$ 3 = \int_{0}^{1} f(x) dx $$

적절한 제약 조건이 주어진다던가, 여러 영역에 대한 적분값이 주어진다던가 해야지만 정확한 $f$를 찾을 수 있다.