logo

프레드홀 적분 방정식 📂바나흐공간

프레드홀 적분 방정식

정의1

다음의 적분 방정식을 제1 종 프레드홀름 적분 방정식Fredholm Integral Equation of the first kind이라 부른다.

g(s)=K(s,t)f(t)dt(1) g(s) = \int K(s, t) f(t) dt \tag{1}

이때 KK커널kernel이라 한다. 다음의 꼴을 제2 종 프레드홀름 적분 방정식이라 한다.

g(s)=f(s)+K(s,t)f(t)dt(2) g(s) = f(s) + \int K(s, t) f(t) dt \tag{2}

설명

적분 방정식 (1),(2)(1), (2)를 푼다는 것은, 대개 주어진 ggKK에 대해서 (1),(2)(1), (2)를 만족하는 ff를 찾는 것을 말한다. 이는 이미 계산된 결과 gg가 주어져있을 때, 원인 ff를 찾는 역문제이다. 주어진 함수에 따라 적분 자체도 어려운 경우가 많은데, 이를 거꾸로 푸는 것이 어려운 것은 말해봐야 입만 아프다. 정적분값 33이 주어졌을 때, 다음을 만족하는 ff는 무수히 많다는 것을 쉽게 알 수 있다.

3=01f(x)dx 3 = \int_{0}^{1} f(x) dx

적절한 제약 조건이 주어진다던가, 여러 영역에 대한 적분값이 주어진다던가 해야지만 정확한 ff를 찾을 수 있다.


  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1978), p319 ↩︎