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일반화 평균

정의¹

$0$이 아닌 실수 $p$와 $n$개의 양수 $x_{1}, \dots, x_{n}$에 대하여, 다음의 값을 이들의 일반화 평균^{generalized mean}, 혹은 멱평균^{power mean}이라 한다.

$$ M_{p}(x_{1}, \dots, x_{n}) := \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{p} \right)^{1/p} $$

$p = 0$과 $p = \pm\infty$에 대해서는 극한으로 정의한다.

$$ M_{0} := \lim_{p \to 0} M_{p}, \qquad M_{\pm\infty} := \lim_{p \to \pm\infty} M_{p} $$

설명

일반화 평균은 산술평균, 기하평균 등을 포함하는 평균의 일반적인 정의다. "각 값을 $p$거듭제곱해서 산술평균을 낸 뒤, 다시 $1/p$거듭제곱으로 되돌린 것"인데, $p$를 어떻게 고르느냐에 따라 아래 표와 같이 익숙한 평균들이 모두 얻어진다.

이름	지수	값
최솟값	$p = -\infty$	$\min (x_{1}, \dots, x_{n})$
조화평균	$p = -1$	$n \left( \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{-1} \right)^{-1}$
기하평균	$p = 0$	$\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}$
산술평균	$p = 1$	$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$
제곱평균제곱근root mean square, RMS	$p = 2$	$\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}$
최댓값	$p = \infty$	$\max (x_{1}, \dots, x_{n})$

지수 $p$가 커질수록 큰 값이 합 $\sum x_{i}^{p}$을 지배하므로 $M_{p}$는 큰 값 쪽으로 끌려가고, 반대로 $p$가 작아질수록 작은 값 쪽으로 끌려간다. 그리고 그 양 끝이 각각 최댓값($p = \infty$)과 최솟값($p = -\infty$)이다. 실제로 데이터를 고정하고 $M_{p}$를 $p$의 함수로 보면 연속이고 단조증가하는데, 이를 멱평균 부등식^{power mean inequality}이라 한다.

$$ p \le q \implies M_{p} \le M_{q} $$

여기서 $p = -1, 0, 1$인 특수한 경우가 잘 알려진 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이의 부등식 $M_{-1} \le M_{0} \le M_{1}$이다.

아래 그림은 두 수 $1$과 $x$의 일반화 평균 $M_{p}(1, x)$를 $x$의 함수로 그린 것이다. 멱평균 부등식대로 어떤 $x$에서든 $p$가 큰 곡선일수록 위에 놓여서, 아래의 최솟값($p = -\infty$)부터 위의 최댓값($p = \infty$)까지 곡선들이 순서대로 배열되는 것을 볼 수 있다.

다음 그림은 $10$개의 값으로 이루어진 데이터를 막대그래프로 그리고, 대표적인 $p$에 대한 p-평균을 수평선으로 나타낸 것이다.

성질

아래의 성질을 증명없이 소개한다.

(a) $p \to 0$일 때 기하평균으로 수렴한다.

$$ \lim_{p \to 0} M_{p} = \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} $$

(b) $p \to \infty$일 때 최댓값으로 수렴한다.

$$ \lim_{p \to \infty} M_{p} = \max (x_{1}, \dots, x_{n}) $$

(c) $p \to -\infty$일 때 최솟값으로 수렴한다.

$$ \lim_{p \to -\infty} M_{p} = \min (x_{1}, \dots, x_{n}) $$

(d) p-평균은 항상 최솟값과 최댓값 사이에 있다.

$$ \min (x_{1}, \dots, x_{n}) \le M_{p}(x_{1}, \dots, x_{n}) \le \max (x_{1}, \dots, x_{n}) $$

(e) 양수 $b > 0$에 대해서 동차성^homogeneity을 갖는다.

$$ M_{p}(b x_{1}, \dots, b x_{n}) = b \cdot M_{p}(x_{1}, \dots, x_{n}) $$