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초기조건이 0인 파동방정식의 해 📂편미분방정식

초기조건이 0인 파동방정식의 해

정리

다음과 같은 파동방정식이 주어졌다고 하자. 이때 Δx\Delta_{\mathbf{x}}는 변수 x\mathbf{x}에 대한 라플라시안이다.

∂t2p(x,t)=Δxp(x,t)on R×[0,∞)p(x,0)=f(x)on R∂tp(x,0)=0on R \begin{align} \partial_{t}^{2} p(\mathbf{x}, t) &= \Delta_{\mathbf{x}} p(\mathbf{x}, t) &\text{on } \mathbb{R} \times [0, \infty) \\ p(\mathbf{x}, 0) &= f(\mathbf{x}) &\text{on } \mathbb{R} \\ \partial_{t} p(\mathbf{x}, 0) &= 0 &\text{on } \mathbb{R} \end{align}

위 편미분방정식의 해는 다음과 같다.

p(x,t)=1(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(t∣ξ∣)eix⋅ξdξ \begin{equation} p(\mathbf{x}, t) = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \end{equation}

이때 f^\hat{f}은 ff의 푸리에변환이다. 이번엔 초기조건이 아래와 같이 주어진 파동방정식을 생각해보자.

∂t2p(x,t)=Δxp(x,t)on R×[0,∞)p(x,0)=0on R∂tp(x,0)=g(x)on R \begin{align*} \partial_{t}^{2} p(\mathbf{x}, t) &= \Delta_{\mathbf{x}} p(\mathbf{x}, t) &\text{on } \mathbb{R} \times [0, \infty) \\ p(\mathbf{x}, 0) &= 0 &\text{on } \mathbb{R} \\ \partial_{t} p(\mathbf{x}, 0) &= g(\mathbf{x}) &\text{on } \mathbb{R} \end{align*}

위 편미분방정식의 해는 다음과 같다.

p(x,t)=1(2π)n∫Rng^(ξ)sin⁡(t∣ξ∣)∣ξ∣eix⋅ξdξ p(\mathbf{x}, t) = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{g} (\boldsymbol{\xi}) \dfrac{\sin (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|)}{\left| \boldsymbol{\xi} \right|} e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi}

설명

푸리에변환과 역변환의 정의를 아래와 같이 두자.

f^(ξ)=∫Rnf(x)eiξ⋅xdx,f(x)=1(2π)n∫Rnf(x)eix⋅ξdξ \hat{f}(\boldsymbol{\xi}) = \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x}) e^{\mathrm{i} \boldsymbol{\xi} \cdot \mathbf{x}} \mathrm{d} \mathbf{x}, \qquad f(\mathbf{x}) = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}}\int\limits_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x}) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi}

후자의 증명법은 전자와 대동소이하므로 생략한다.

증명

(4)(4)가 (1)(1), (2)(2), (3)(3)을 만족시키는지 확인해보기만하면 된다. 우선 시간에 대한 2계 도함수를 계산해보면,

∂t2p(x,t)=−∣ξ∣21(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(t∣ξ∣)eix⋅ξdξ \partial_{t}^{2} p(\mathbf{x}, t) = -\left| \boldsymbol{\xi} \right|^{2} \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi}

라플라시안을 계산해보면 다음과 같다.

Δxp(x,t)=1(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(t∣ξ∣)(Δxeix⋅ξ)dξ=(−∣ξ∣2)1(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(t∣ξ∣)eix⋅ξdξ \begin{align*} \Delta_{\mathbf{x}} p(\mathbf{x}, t) &= \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|) (\Delta_{\mathbf{x}} e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}}) \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ &= (- \left| \boldsymbol{\xi} \right|^{2}) \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ \end{align*}

따라서 (1)(1)이 성립한다. p(x,0)p(\mathbf{x}, 0)를 계산해보면 다음과 같으므로 (2)(2)가 성립한다.

p(x,0)=1(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(0∣ξ∣)eix⋅ξdξ=1(2π)n∫Rnf^(ξ)eix⋅ξdξ=f(x) \begin{align*} p(\mathbf{x}, 0) &= \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos ( 0 \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ &= \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ &= f(\mathbf{x}) \end{align*}

(3)(3)이 성립하는 것도 쉽게 확인할 수 있다.

∂tp(x,0)=−∣ξ∣∫Rnf^(ξ)sin⁡(0∣ξ∣)eix⋅ξdξ=0 \begin{align*} \partial_{t}p(\mathbf{x}, 0) &= - \left| \boldsymbol{\xi} \right| \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \sin ( 0 \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ &= 0 \end{align*}

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