📂거리공간

거리공간에서 동등연속

정의¹

두 거리공간 $(X, d_{X})$, $(Y, d_{Y})$와 함수열 $\left\{ f_{n} : X \to Y \right\}$가 주어졌다고 하자. 모든 $\varepsilon \gt$에 대해 다음을 만족하는 $\delta (\varepsilon) \gt 0$가 존재하면, 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$를 동등연속^{equicontinuous}이라 한다.

$$\forall x_{1}, x_{2} \in X \text{ and } f_{n}\quad d_{X}(x_{1}, x_{2}) \lt \delta (\varepsilon) \implies d_{Y} \big( f_{n}(x_{1}), f_{n}(x_{2}) \big) \lt \varepsilon$$

설명

쉽게 얘기해서 동등연속인 $\left\{ f_{n} \right\}$은 $X$에서 균등연속인 함수들 중에 같은 $\varepsilon$과 $\delta (\varepsilon)$에 대해서 연속성이 성립하는 함수들을 모아놓은 수열이다.

아스콜리의 정리^{Ascoli’s theorem}

유계 동등연속 함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$은 수렴하는 부분 수열을 가진다.