📂위상수학

위상공간에서 수열 컴팩트란?

정의¹

위상공간 $X$가 수열 컴팩트^{sequentially compact}라는 것은, $X$의 모든 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$이 $X$의 점으로 수렴하는 부분 수열 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}$를 가진다는 것을 말한다.

설명

일반적으로 위상공간에서는 컴팩트와 수열 컴팩트는 서로 무관하다. 가령 컴팩트이지만 수열 컴팩트는 아닌 공간도 있고, 수열 컴팩트이지만 컴팩트는 아닌 공간도 있다.

거리공간에서는 이와 컴팩트가 동치이다.

정리

수열 컴팩트이면 가산 컴팩트이다.