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놈 공간의 부분 집합이 유계 집합일 필요충분조건 📂바나흐공간

놈 공간의 부분 집합이 유계 집합일 필요충분조건

정의

지름

놈 공간 (X,)(X, \left\| \cdot \right\|)가 주어졌다고 하자. 공집합이 아닌 부분 집합 MXM \subset X지름diameter diamM\diam M을 다음가 같이 정의한다. diamM=:supx,yMxy \diam M =: \sup\limits_{x, y \in M} \left\| x - y \right\|

유계

diamM<\diam M \lt \infty를 만족하면, MM유계bounded라 한다.

설명

놈 공간에서는 메트릭d(x,y)=:xyd (x, y) =: \left\| x - y \right\|와 같이 자연스럽게 유도할 수 있으므로, 위 정의를 거리공간에서 말하자면 다음과 같다.

diamM=:supx,yMd(x,y) \diam M =: \sup\limits_{x, y \in M} d(x, y)

아래의 정리로부터 놈 공간의 부분 집합이 유계라는 것은 원소의 놈들의 집합이 유계라는 것과 같다는 사실을 알 수 있다.

정리

놈 공간 XX의 부분 집합 MXM \subset X가 유계인 것의 필요충분조건은 양수 c>0c \gt 0가 존재하여 모든 xMx \in M에 대해서 xc\left\| x \right\| \le c가 성립하는 것이다.

증명

12\text{\textcircled 1} \Longrightarrow \text{\textcircled 2}

MXM \subset X가 유계라고 가정하자. 즉 어떤 C>0C > 0에 대해서 다음이 성립한다.

supx,yMxy<C(1) \sup\limits_{x, y \in M} \left\| x - y \right\| \lt C \tag{1}

고정된 yMy \in M에 대해서, ccc=C+yc = C + \left\| y\right\|라 두자. 그러면 모든 xMx \in M에 대해서 다음이 성립한다.

x=xy+yxy+yby triangle inequality<C+yby (1)=c \begin{align*} \left\| x \right\| &= \left\| x - y + y \right\| \\ &\le \left\| x - y \right\| + \left \| y \right\| & \text{by triangle inequality} \\ &\lt C + \left\| y \right\| & \text{by } (1) \\ &= c \end{align*}

12\text{\textcircled 1} \Longleftarrow \text{\textcircled 2}

양수 c>0c \gt 0가 모든 xMx \in M에 대해서 xc\left\| x \right\| \le c를 만족한다고 하자. 그러면 모든 x,yMx, y \in M에 대해서 x+y2c\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \le 2c가 성립한다. xyx+y\left\| x - y \right\| \le \left\| x \right\| + \left\| y \right\|이므로,

supx,yMxy< \sup \limits_{x, y \in M} \left\| x - y \right\| \lt \infty