놈 공간의 부분 집합이 유계 집합일 필요충분조건
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정의
지름
놈 공간 (X,∥⋅∥)가 주어졌다고 하자. 공집합이 아닌 부분 집합 M⊂X의 지름diameter diamM을 다음가 같이 정의한다.
diamM=:x,y∈Msup∥x−y∥
유계
diamM<∞를 만족하면, M을 유계bounded라 한다.
설명
놈 공간에서는 메트릭을 d(x,y)=:∥x−y∥와 같이 자연스럽게 유도할 수 있으므로, 위 정의를 거리공간에서 말하자면 다음과 같다.
diamM=:x,y∈Msupd(x,y)
아래의 정리로부터 놈 공간의 부분 집합이 유계라는 것은 원소의 놈들의 집합이 유계라는 것과 같다는 사실을 알 수 있다.
정리
①놈 공간 X의 부분 집합 M⊂X가 유계인 것의 필요충분조건은 ②양수 c>0가 존재하여 모든 x∈M에 대해서 ∥x∥≤c가 성립하는 것이다.
증명
1◯⟹2◯
M⊂X가 유계라고 가정하자. 즉 어떤 C>0에 대해서 다음이 성립한다.
x,y∈Msup∥x−y∥<C(1)
고정된 y∈M에 대해서, c를 c=C+∥y∥라 두자. 그러면 모든 x∈M에 대해서 다음이 성립한다.
∥x∥=∥x−y+y∥≤∥x−y∥+∥y∥<C+∥y∥=cby triangle inequalityby (1)
1◯⟸2◯
양수 c>0가 모든 x∈M에 대해서 ∥x∥≤c를 만족한다고 하자. 그러면 모든 x,y∈M에 대해서 ∥x∥+∥y∥≤2c가 성립한다. ∥x−y∥≤∥x∥+∥y∥이므로,
x,y∈Msup∥x−y∥<∞
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