놈 공간의 부분 집합이 유계 집합일 필요충분조건
정의
지름
놈 공간 $(X, \left\| \cdot \right\|)$가 주어졌다고 하자. 공집합이 아닌 부분 집합 $M \subset X$의 지름diameter $\diam M$을 다음가 같이 정의한다. $$ \diam M =: \sup\limits_{x, y \in M} \left\| x - y \right\| $$
유계
$\diam M \lt \infty$를 만족하면, $M$을 유계bounded라 한다.
설명
놈 공간에서는 메트릭을 $d (x, y) =: \left\| x - y \right\|$와 같이 자연스럽게 유도할 수 있으므로, 위 정의를 거리공간에서 말하자면 다음과 같다.
$$ \diam M =: \sup\limits_{x, y \in M} d(x, y) $$
아래의 정리로부터 놈 공간의 부분 집합이 유계라는 것은 원소의 놈들의 집합이 유계라는 것과 같다는 사실을 알 수 있다.
정리
①놈 공간 $X$의 부분 집합 $M \subset X$가 유계인 것의 필요충분조건은 ②양수 $c \gt 0$가 존재하여 모든 $x \in M$에 대해서 $\left\| x \right\| \le c$가 성립하는 것이다.
증명
$\text{\textcircled 1} \Longrightarrow \text{\textcircled 2}$
$M \subset X$가 유계라고 가정하자. 즉 어떤 $C > 0$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \sup\limits_{x, y \in M} \left\| x - y \right\| \lt C \tag{1} $$
고정된 $y \in M$에 대해서, $c$를 $c = C + \left\| y\right\|$라 두자. 그러면 모든 $x \in M$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \left\| x \right\| &= \left\| x - y + y \right\| \\ &\le \left\| x - y \right\| + \left \| y \right\| & \text{by triangle inequality} \\ &\lt C + \left\| y \right\| & \text{by } (1) \\ &= c \end{align*} $$
$\text{\textcircled 1} \Longleftarrow \text{\textcircled 2}$
양수 $c \gt 0$가 모든 $x \in M$에 대해서 $\left\| x \right\| \le c$를 만족한다고 하자. 그러면 모든 $x, y \in M$에 대해서 $\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \le 2c$가 성립한다. $\left\| x - y \right\| \le \left\| x \right\| + \left\| y \right\|$이므로,
$$ \sup \limits_{x, y \in M} \left\| x - y \right\| \lt \infty $$
■