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컴팩트 작용소

정의¹

$X$와 $Y$를 놈 공간이라 하자. $T : X \to Y$를 두 공간 사이의 작용소라고 하자. 모든 유계인 부분집합 $M \subset X$에 대해서, 작용소 $T$의 이미지 $T(M)$이 프리 컴팩트이면 $T$를 컴팩트 작용소^{compact operator}라고 한다.

설명

$T(M)$이 프리 컴팩트^{precompact, relatively compact}라는 것은 이것의 클로져 $\overline{T(M)}$이 컴팩트라는 말이다. 다시 말해 컴팩트 오퍼레이터라는 것은 유계 집합을 프리 컴팩트로 매핑하는 오퍼레이터이다.

컴팩트 오퍼레이터에 대한 공부의 필요성은 다음과 같은 적분 방정식의 풀이에서부터 유래했다. $$(T - \lambda I)x(s) = y(s) \qquad \text{where} \qquad Tx(s) = \int_{a}^{b} k(s, t)x(t) dt.$$ 여기서 $\lambda \in \mathbb{C}$는 상수, $y$와 커널 $k$는 주어진 함수이다. 미지수^unknown, 즉 찾고자 하는 함수는 $x$이다. 다비트 힐베르트^{David Hilbert}는 위 적분 방정식의 풀이 가능성^solvability이 $T$의 적분 꼴이 아니라 오로지 $T$의 컴팩트성에 의존한다는 사실을 발견했다.

compact operator는 completely continuous operator라고도 부른다. 이러한 이름은 아래의 정리로부터 붙여진 것이다. 일반적으로 (a)의 역은 성립하지 않는데, (b)가 그 반례가 된다.

정리

연속성에 관한 정리: $X$와 $Y$를 놈공간이라 하자.

(a) 모든 컴팩트 선형 작용소 $T : X \to Y$는 유계이다. 즉 연속이다.

(b) 만약 $X$가 무한차원이면, 항등 작용소 $I : X \to X$는 (연속이지만) 컴팩트가 아니다.

증명

(a)

단위 구 $U = \left\{ x \in X : \left\| x \right\| = 1 \right\}$은 유계이다. $T$를 컴팩트라고 가정했으므로, 컴팩트 오퍼레이터의 정의에 의해 $\overline{T(U)}$가 컴팩트이다. 컴팩트이면 유계이고, 아래의 보조정리에 의해 $\overline{T(U)}$가 유계인 것은 모든 $Tx \in \overline{T(U)}$에 대해서 $\left\| Tx \right\| \le c$인 $c$가 존재하는 것과 같다.

보조정리

두 명제는 서로 동치이다.

• 놈 공간 $X$의 부분 집합 $M \subset X$가 유계이다.
• 양수 $c \gt 0$가 존재하여 모든 $x \in M$에 대해서 $\left\| x \right\| \le c$가 성립한다.

따라서,

$$\sup\limits_{x \in U} \left\| Tx \right\| \lt \infty$$

■

(b)

$\dim X = \infty$라고 가정하자. 닫힌 볼 $B = \left\{ x \in X : \left\| x \right\| \le 1 \right\}$은 유계이다. $\overline{I(B)} = \overline{B}$는 아래의 리즈정리에 의해 컴팩트일 수 없다. 따라서 $I : X \to X$는 컴팩트 작용소가 아니다.

리즈 정리

놈 공간 $X$에 대해서,

$X$는 유한차원이다. $\iff$ $\overline{ B ( 0 ; 1 ) }$은 컴팩트다.

■

성질

컴팩트 조건

자세히 보기

$X$와 $Y$를 놈 공간이라 하자. $T : X \to Y$를 선형 작용소라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 서로 같다.

1. $T$가 컴팩트 작용소이다.
2. $T$가 「$X$의 모든 유계 수열」을 「수렴하는 부분수열을 갖는 $Y$의 수열」로 매핑한다.

벡터공간

자세히 보기

컴팩트 선형작용소들의 집합은 벡터공간을 이룬다.