에너지가 퍼텐셜보다 작을 때 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 해가 없다
정리
에너지가 퍼텐셜보다 작은 구간에서는 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 해가 존재하지 않는다. 즉, 파동함수가 존재하지 않는다.
설명
해가 존재하지 않는다는 말은, 물리적으로 의미있는 해가 존재하지 않는다는 말이다.
양자역학에서는 파동함수를 확률적으로 해석한다. 즉 파동함수의 크기를 확률밀도함수로 다루는데, 이것이 가능하려면 파동함수는 제곱적분가능해야한다. 즉 파동함수 $\psi$는 다음의 식을 만족해야한다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi \right|^{2} dx \lt \infty $$
그러므로 위 정리는 에너지가 퍼텐셜보다 작으면 제곱적분가능한 해가 존재하지 않는다는 것을 말한다.
증명
계단 퍼텐셜, 장벽 퍼텐셜, 우물 퍼텐셜 등에서 퍼텐셜은 구간별로 상수인 함수이므로, 퍼텐셜 $U$가 $x$에 의존하지 않는다고 가정하자. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같다.
$$ \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2 }{\partial x^2}\psi + U\psi=E\psi $$
$$ \implies \dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi = \dfrac{2m}{\hbar^2}(U-E)\psi $$
여기서 우리는 지금 에너지가 퍼텐셜보다 작을 때 해가 없음을 보이는 중이므로 우변에서
$$ U>E \implies U-E>0 $$
따라서 $\dfrac{2m}{\hbar^2}(U-E)>0$이고 이를 임의의 상수 $\kappa$에 대해 $\kappa ^2$이라고 표기할 수 있다.
$$ \dfrac{2m}{\hbar^2}(U-E) \equiv \kappa ^2 $$
$\kappa$는 카파라고 읽는다. 그러면 방정식은 다음과 같다.
$$ \dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi = \kappa ^2 \psi $$
이는 계수가 양수인 2계 미분 방정식이므로, 다음과 같은 해를 갖는다.
$$ \psi (x) = Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x} $$
해가 제곱적분 가능한지 확인해보자.
$$ \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dx &= \int_{-\infty}^{\infty} |Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}|^2 dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} (A^2e^{2\kappa x}+2AB + B^2e^{-2\kappa x}) dx \\ &= \left[ \frac{A^2}{2\kappa} e^{2\kappa x}+2ABx + \frac{B^2}{-2\kappa} e^{-2\kappa x} \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &= \infty \end{align*} $$
해가 제곱적분 가능하지않고 발산하므로, 이 $\psi$는 물리적으로(양자역학적으로) 다루고자하는 대상이 아니라는 의미이다. 따라서 $U>E$인 구간에서는 파동함수가 존재하지 않는다.
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