📂고전역학

물리학에서 자유도란?

정의

입자계 전체의 좌표 중 서로 독립인 좌표의 수를 자유도^{degree of freedom}라고 한다.

설명

이를 풀어서 설명하면, 자유도란 입자계를 표현하는데 필요한 최소한의 변수의 개수이다. 3차원 공간에서 자유롭게 운동하는 입자를 생각해보자. 이 입자의 위치는 $r = (x,y,z)$로 표현할 수 있고, 이때 각 축의 변수 $x, y, z$는 서로 독립이므로 이 입자계의 자유도는 $3$이다.

아래의 예시에서와 같이 입자의 운동에 특정한 조건이 추가되면 자유도가 줄어드는데, 이러한 조건을 구속 조건^constraint이라 부른다. 또한 자유도가 $n$인 입자계를 $n$개의 좌표로 나타낸 것을 일반화좌표^{generalized coordinates}라 한다.

원운동

2차원 공간에서 단위원을 궤도로 원운동하는 입자를 생각해보자. 입자의 위치는 $r = (x,y)$로 표현할 수 있는다. 이때 $y=\sqrt{1-x^{2}}$이므로 이 입자계의 자유도는 $2-1=1$이다.

$$\begin{align*} x &= x\\ y &= \sqrt{1 - x^{2}} \end{align*} \quad \implies \quad r = (x, \sqrt{1-x^{2}})$$

물론 이 경우에는 각도 $\theta$로 나타내는 것이 훨씬 편리하다. $$r = (\cos\theta, \sin\theta)$$ 여기서 구속조건은 $x^{2} + y^{2} = 1$이고, 일반화좌표는 $\theta$이다.

이중진자

반지름이 $R, r (R \gt r)$인 이중진자를 생각해보자. 2차원에서 두 진자의 위치를 표현하기 위해서는 4개의 좌표 $(x_{1}, y_{1})$, $(x_{2}, y_{2})$가 필요하지만 자유도는 $2$이다. 두 진자가 $x$축과 이루는 각도를 $\theta_{1}, \theta_{2}$라고 하면 이 두 변수로 입자계의 모든 위치를 표현할 수 있다.

$$\begin{align*} x_{1} &= R\cos\theta_{1} \\ y_{1} &= R\sin\theta_{1} \\ x_{2} &= R\cos\theta_{1} + r\cos\theta_{2} \\ y_{2} &= R\sin\theta_{1} + r\sin\theta_{2} \end{align*}$$

여기서 일반화좌표는 $(\theta_{1}, \theta_{2})$이다.