📂기하학

측지선 좌표조각사상의 가우스 곡률

정리¹

측지선 좌표조각사상 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$의 메트릭 행렬이 다음과 같다고 하자.

$$\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & h^{2} \end{bmatrix} \quad (h \gt 0)$$

그러면 $\mathbf{x}$의 가우스 곡률은 다음과 같다.

$$K = -\dfrac{h_{11}}{h}$$

이때 $(u^{1}, u^{2})$는 $U$의 좌표이며, $h_{i} = \dfrac{\partial h}{\partial u^{i}}$이다.

증명

가우스의 위대한 정리

$$K = \dfrac{\sum\limits_{\ell} R_{121}^{\ell}g_{\ell 2}}{g}$$

이때 $R_{ijk}^{\ell}$은 리만 곡률 텐서의 계수, $g$와 $g_{ij}$는 리만 메트릭의 계수이다.

$g_{12} = 0$이므로, 가우스의 정리로부터 $R_{121}^{2}$만 계산하면 된다. 이는 정의에 의해,

$$R_{121}^{2} = \dfrac{\partial \Gamma_{11}^{2}}{\partial u^{2}} - \dfrac{\partial \Gamma_{12}^{2}}{\partial u^{1}} + \sum\limits_{p=1}^{2} \left( \Gamma_{11}^{p}\Gamma_{p2}^{2} - \Gamma_{12}^{p}\Gamma_{p1}^{2} \right)$$

여기서 $\Gamma_{ij}^{k}$는 크리스토펠 심볼이다. 측지선 패치의 크리스토펠 심볼은 다음과 같다.

측지선 좌표조각사상의 크리스토펠 심볼

아래의 것들 외에는 모두 $0$이다.

$$\Gamma_{22}^{1} = -hh_{1},\quad \Gamma_{12}^{2} = \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{h_{1}}{h},\quad \Gamma_{22}^{2} = \dfrac{h_{2}}{h}$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} R_{121}^{2} &= \dfrac{\partial \Gamma_{11}^{2}}{\partial u^{2}} - \dfrac{\partial \Gamma_{12}^{2}}{\partial u^{1}} + \sum\limits_{p=1}^{2} \left( \Gamma_{11}^{p}\Gamma_{p2}^{2} - \Gamma_{12}^{p}\Gamma_{p1}^{2} \right) \\ &= - \dfrac{\partial }{\partial u^{1}}\dfrac{h_{1}}{h} + \sum\limits_{p=1}^{2} \left( - \Gamma_{12}^{p}\Gamma_{p1}^{2} \right) \\ &= - \dfrac{h_{11}h - h_{1}h_{1}}{h^{2}} - \Gamma_{12}^{1}\Gamma_{11}^{2} - \Gamma_{12}^{2}\Gamma_{21}^{2} \\ &= - \dfrac{h_{11}h - h_{1}h_{1}}{h^{2}} - \dfrac{(h_{1})^{2}}{h^{2}} \\ &= - \dfrac{h_{11}}{h} \end{align*}$$

그러므로 가우스 곡률은, $g_{22} = g = h^{2}$이므로,

$$K = \dfrac{R_{121}^{2}g_{22}}{g} = \dfrac{\left( - \dfrac{h_{11}}{h} \right) h^{2}}{h^{2}} = - \dfrac{h_{11}}{h}$$

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