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1/x^p의 적분 가능성

정리

함수 $f(x) = \dfrac{1}{x^{p}}$의 적분가능성은 다음과 같다.

1. $x \in (0,1]$일 때, $p \lt 1$이면 $f$는 적분가능하다.

2. $x \in [1, \infty)$일 때, $p \gt 1$이면 $f$는 적분가능하다.

설명

$x$가 $1$보다 작으면 $p$도 $1$보다 작아야하고, $x$가 $1$보다 크면 $p$도 $1$보다 커야한다고 외우면 된다.

증명

$x \in (0,1]$인 경우

$p \lt 1$인 경우

$1 - p \gt 0$이므로, 아래와 같이 수렴한다.

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^p} dx &= \left. \dfrac{1}{-p+1} x^{1-p} \right|_{0}^{1} \\ &= \dfrac{1}{-p+1} \left( 1 - 0 \right) \\ &= \dfrac{1}{-p+1} \lt \infty \end{align*}$$

$p \gt 1$인 경우

$p - 1 \gt 0$이므로, 아래와 같이 수렴한다.

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^p} dx &= \left. \dfrac{1}{-p+1} \dfrac{1}{x^{p-1}} \right|_{0}^{1} \\ &= \dfrac{1}{-p+1} \left( 1 - \infty \right) \\ &= \infty \end{align*}$$

$p = 1$인 경우

아래와 같이 적분이 발산한다.

$$\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x} dx = \left. \log x \right|_{0}^{1} = \log 1 - (-\infty) = \infty$$

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$x \in [1, \infty)$

$p \gt 1$인 경우

$p - 1 \gt 0$이므로, 아래와 같이 수렴한다.

$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^p} dx &= \left. \dfrac{1}{-p+1} \dfrac{1}{x^{p-1}} \right|_{1}^{\infty} \\ &= \dfrac{1}{-p+1} \left( \dfrac{1}{\infty^{p-1}} - 1 \right) \\ &= \dfrac{1}{p-1} \lt \infty \end{align*}$$

$p \lt 1$인 경우

$1-p \gt 0$이므로, 아래와 같이 발산한다.

$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^p} dx &= \left. \dfrac{1}{-p+1} x^{1-p} \right|_{1}^{\infty} \\ &= \dfrac{1}{-p+1} \left( \infty^{1-p} - 1 \right) \\ &= \infty \end{align*}$$

$p = 1$인 경우

아래와 같이 적분이 발산한다.

$$\int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x} dx = \left. \log x \right|_{1}^{\infty} = \log(\infty) - \log 1 = \infty$$

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