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브라운 운동의 초함수적 도함수는 백색잡음이다

정리

브라운 운동의 초함수적 도함수는 백색잡음이다.

설명

브라운 운동 $B_{t}$는 전통적인 의미에서의 도함수가 존재하지 않는다. 따라서 확률과정으로서 다음과 같은 조건을 만족하는 $\xi$를 백색잡음이라 정의내릴 수 있다.

$$\begin{align} E[\xi_{t}] &= 0, & \forall t \\ \Cov(\xi_{t}, \xi_{s}) &= \delta_{0} \end{align}$$

$\Cov$는 공분산, $\delta$는 디랙델타함수이다. 그런데 여기서 $B_{t}$를 초함수로 확장하여 생각하면, 이의 초함수적 도함수가 백색잡음의 정의를 만족함을 알 수 있다. 다시말해 백색잡은은 브라운 운동의 약 도함수이다.

증명¹

확률과정 $B(t,w) : [0, \infty) \times \Omega \to \mathbb{R}^{n}$를 브라운 운동이라 하자. 편의상 이를 $B_{t}(\omega) = B(t,\omega)$로 나타내자. $B_{t}$에 대해서 다음과 같은 초함수 $B_{t}$를 정의하자.

$$B_{t} [\phi] := \int B_{t} \phi (t) dt, \quad \forall \phi \in \mathcal{D}$$

여기서 $\phi$는 테스트 함수이다. 초함수 $B_{t}$의 도함수는 정의에 의해 다음과 같이 정의되는 초함수이다.

$$B_{t}^{\prime} [\phi] := - \int B_{t} \phi^{\prime}(t) dt, \quad \forall \phi \in \mathcal{D}$$

이를 간단히 $\xi (\phi) = B_{t}^{\prime} [\phi]$라고 나타내자. 이제 $\xi (\phi)$가 $(1)$, $(2)$를 만족함을 보이면 된다.

브라운 운동의 기초 성질

[2] $E ( B_{t} ) = 0$

[4] $\Cov ( B_{t} , B_{s} ) = E (B_{t}B_{s}) = \min (t, s)$

• $E\left[ \xi (\phi) \right] = 0$

  $$\begin{align*} E[\xi (\phi)] &= E\left[ - \int B_{t} \phi^{\prime}(t) dt \right] \\ &= - \int E[B_{t}] \phi^{\prime}(t) dt \\ &= - \int 0 \cdot \phi^{\prime}(t) dt = 0 \end{align*}$$

  두번째 등호는 $E$가 $t$에 무관하므로, 세번째 등호는 브라운 운동의 성질 [2]에 의해 성립한다.

• $\Cov \left[ \xi, \xi \right] = \delta_{0}$

  브라운 운동의 성질 [4]에 의해,

  $$\begin{align*} \Cov \left[ \xi (\phi), \xi (\psi) \right] &= E\left[ \xi (\phi) \xi (\psi) \right] \\ &= E\left[ \int B_{t}\phi^{\prime}(t)dt \int B_{s}\psi^{\prime}(s)ds \right] \\ &= E\left[ \int\int B_{t}B_{s}\phi^{\prime}(t)\psi^{\prime}(s) dtds \right] \\ &= \int\int E\left[ B_{t}B_{s} \right] \phi^{\prime}(t)\psi^{\prime}(s) dtds \\ &= \int\int \min(t,s) \phi^{\prime}(t)\psi^{\prime}(s) dtds \\ \end{align*}$$

  네번째 등호는 $E$가 $t$, $s$에 무관하므로, 다섯번째 등호는 브라운 운동의 성질 [4]에 의해 성립한다.

  $s$가 고정되어있을 때, $\min (t,s)$는 다음과 같은 $t$에 대한 함수이다.

  $$\min (t,s) = \begin{cases} t & 0 \le t \le s \\ s & s \le t \end{cases}$$

  따라서 위의 적분을 계산하면,

  $$\begin{align*} &\quad \int\int \min(t,s) \phi^{\prime}(t)\psi^{\prime}(s) dtds \\ &= \int \int_{0}^{s} t \phi^{\prime}(t) \psi^{\prime}(s) dtds + \int \int_{s}^{\infty} s \phi^{\prime}(t) \psi^{\prime}(s) dtds \\ &= \int \left( \int_{0}^{s} t \phi^{\prime}(t) dt \right) \psi^{\prime}(s)ds + \int s \int_{s}^{\infty} \phi^{\prime}(t) dt \psi^{\prime}(s) ds \\ &= \int \left( \left[ t\phi (t) \right]_{0}^{s} - \int_{0}^{s}\phi (t) dt \right) \psi^{\prime}(s)ds + \int s [\phi (t)]_{s}^{\infty} \psi^{\prime}(s) ds \\ &= \int s\phi (s) \psi^{\prime}(s)ds - \int \int_{0}^{s}\phi (t) dt \psi^{\prime}(s) ds - \int s \phi (s) \psi^{\prime}(s) dtds \\ &= - \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{s}\phi (t) dt \psi^{\prime}(s) ds = - \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{s}\phi (t) dt \right) \psi^{\prime}(s) ds \\ &= - \left[ \left( \int_{0}^{s}\phi (t) dt \right) \psi (s) \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \dfrac{d}{ds}\left( \int_{0}^{s}\phi (t) dt \right) \psi (s) ds \\ &= \int_{0}^{\infty} \phi (s) \psi (s) ds \\ &= \phi (0) \psi (0) \\ &= \delta_{0}[\phi\psi] \\ \end{align*}$$

  $$\implies \Cov\left[ \xi, \xi \right] = \delta_{0}$$

  세번째, 여섯번째 등호에서 부분적분이 사용되었다. 일곱번째 등호는 $\psi (\infty) = 0$, $\displaystyle \int_{0}^{0}\phi (t)dt=0$이므로 성립한다.

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