📂힐베르트공간

ℓ2 공간

정의¹

제곱수렴하는 수열들의 집합을 $\ell^{2}(\mathbb{N})$이라 나타낸다.

$$ \ell^{2}(\mathbb{N}) := \left\{ \left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} : x \in \mathbb{C}(\text{or } \mathbb{R}),\quad \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \lt \infty \right\} $$

간단히 다음과 같이 표기하기도 한다.

$$ \mathbf{x} = \left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots) $$

설명

$\ell^{2}$ 공간은 $\ell^{p}$ 공간이 $p=2$일 때의 특별한 경우로, $\ell^{p}$ 중에서 유일하게 내적공간이다.

성질

벡터공간 $\ell^{2}$는

• 힐베르트 공간, 즉 완비 내적공간이다. 내적은 다음과 같이 주어진다. $$ \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} := \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} x_{k}\overline{y_{k}} $$
• 바나흐 공간, 즉 완비 놈 공간이다. 놈은 다음과 같이 주어진다. $$ \left\| \mathbf{x} \right\|_{2} := \left( \sum\limits_{k\in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}}} $$
• 거리공간이다. 거리는 다음과 같이 주어진다. $$ d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) := \left( \sum\limits_{k\in \mathbb{N}} \left| x_{k} - y_{k} \right|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|_{2} = \sqrt{\braket{\mathbf{x} - \mathbf{y}, \mathbf{x} - \mathbf{y}}} $$
• 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. $$ \left| \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \right| = \left| \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} x_{k}\overline{y_{k}} \right|^{2} \le \left( \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \right) \left( \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| y_{k} \right|^{2} \right) = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}}^{\frac{1}{2}} \braket{\mathbf{y}, \mathbf{y}}^{\frac{1}{2}} $$

정리

• 모든 무한차원 가분 힐베르트 공간 $H$는 $\ell^{2}$와 등거리 동형이다.
• 힐베르트 공간 $H$로의 유계선형작용소 $T$와 이의 수반 작용소 $T^{\ast}$는 다음과 같다. $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}$가 $H$의 수열일 때, $$ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}, \qquad T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$