신호의 자기상관함수 신호의 자기상관함수 정의 아날로그 신호
에너지 신호 f ∈ L 2 ( R ) f \in L^{2}(\mathbb{R}) f ∈ L 2 ( R ) R f R_{f} R f 자기상관함수 auto-correlation function 라 한다.
R f ( τ ) : = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ‾ f ( t + τ ) d t
R_{f}(\tau) := \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} f(t + \tau) dt
R f ( τ ) := ∫ − ∞ ∞ f ( t ) f ( t + τ ) d t
이때 f ( t ) ‾ \overline{f(t)} f ( t ) f ( t ) f(t) f ( t ) 켤레복소수 이다.
디지털 신호
에너지 신호 { x n } ∈ ℓ 2 \left\{ x_{n} \right\} \in \ell^{2} { x n } ∈ ℓ 2
R x ( m ) : = ∑ n ∈ N x n ‾ x n + m
R_{x}(m) := \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \overline{x_{n}}x_{n+m}
R x ( m ) := n ∈ N ∑ x n x n + m
설명 내적 으로 표현하면 다음과 같다. f f f 트랜슬레이션 을 간단히 f − τ = T − τ f f_{-\tau} = T_{-\tau}f f − τ = T − τ f
R f ( τ ) = ⟨ f , T − τ f ⟩ = ⟨ f , f − τ ⟩
R_{f}(\tau) = \braket{f, T_{-\tau}f} = \braket{f, f_{-\tau}}
R f ( τ ) = ⟨ f , T − τ f ⟩ = ⟨ f , f − τ ⟩
자기상관함수는 신호 f f f f − τ f_{-\tau} f − τ L 2 L^{2} L 2 거리 를 d ( f , g ) = ∥ f − g ∥ 2 = ⟨ f − g , f − g ⟩ d(f,g) = \left\| f - g \right\|_{2} = \sqrt{\braket{f-g, f-g}} d ( f , g ) = ∥ f − g ∥ 2 = ⟨ f − g , f − g ⟩
d ( f , f − τ ) 2 = ⟨ f − f − τ , f − f − τ ⟩ = ⟨ f , f ⟩ − ⟨ f , f − τ ⟩ − ⟨ f − τ , f ⟩ + ⟨ f − τ , f − τ ⟩ = ∥ f ∥ 2 − ⟨ f , f − τ ⟩ − ⟨ f , f − τ ⟩ ‾ + ∥ f − τ ∥ = 2 ∥ f ∥ 2 − 2 ℜ ⟨ f , f − τ ⟩ = 2 ∥ f ∥ 2 − 2 ℜ ( R f ( τ ) )
\begin{align*}
d(f, f_{-\tau}) ^{2}
&= \braket{f-f_{-\tau}, f-f_{-\tau}} \\
&= \braket{f, f} - \braket{f, f_{-\tau}} - \braket{f_{-\tau}, f} + \braket{f_{-\tau}, f_{-\tau}} \\
&= \left\| f \right\|_{2} - \braket{f, f_{-\tau}} - \overline{\braket{f, f_{-\tau}}} + \left\| f_{-\tau} \right\| \\
&= 2\left\| f \right\|_{2} - 2 \Re \braket{f, f_{-\tau}} \\
&= 2\left\| f \right\|_{2} - 2 \Re \left( R_{f}(\tau) \right)
\end{align*}
d ( f , f − τ ) 2 = ⟨ f − f − τ , f − f − τ ⟩ = ⟨ f , f ⟩ − ⟨ f , f − τ ⟩ − ⟨ f − τ , f ⟩ + ⟨ f − τ , f − τ ⟩ = ∥ f ∥ 2 − ⟨ f , f − τ ⟩ − ⟨ f , f − τ ⟩ + ∥ f − τ ∥ = 2 ∥ f ∥ 2 − 2ℜ ⟨ f , f − τ ⟩ = 2 ∥ f ∥ 2 − 2ℜ ( R f ( τ ) )
따라서 R f ( τ ) R_{f}(\tau) R f ( τ ) f f f f − τ f_{-\tau} f − τ
정리 아날로그 신호 f ∈ L 2 ( R ) f \in L^{2}(\mathbb{R}) f ∈ L 2 ( R )
S f ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R f ( τ ) e − i ω τ d τ = R f ^ ( ω )
S_{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R_{f}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau = \hat{R_{f}}(\omega)
S f ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R f ( τ ) e − iω τ d τ = R f ^ ( ω )
이때 S f ( ω ) S_{f}(\omega) S f ( ω ) f f f 에너지 스펙트럼 밀도 , R f ^ \hat{R_{f}} R f ^ R f R_{f} R f 푸리에 변환 이다.
증명 변수를 적당히 치환해주면 쉽게 보일 수 있다.
R f ^ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R f ( τ ) e − i ω τ d τ = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ‾ f ( t + τ ) d t e − i ω τ d τ = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ‾ ∫ − ∞ ∞ f ( t + τ ) e − i ω τ d τ d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ‾ ∫ − ∞ ∞ f ( τ ′ ) e − i ω ( τ ′ − t ) d τ ′ d t ( τ ′ = t + τ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ‾ ∫ − ∞ ∞ f ( τ ′ ) e − i ω τ ′ d τ ′ e i ω t d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ‾ f ^ ( ω ) e i ω t d t = f ^ ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ‾ e i ω t d t = f ^ ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t ‾ = f ^ ( ω ) f ^ ( ω ) ‾ = ∣ f ^ ( ω ) ∣ 2 = S f ( ω )
\begin{align*}
\hat{R_{f}}(\omega)
&= \int_{-\infty}^{\infty} R_{f}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} f(t + \tau) dt e^{-i\omega \tau} d\tau \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(t + \tau) e^{-i\omega \tau} d\tau dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau^{\prime}) e^{-i\omega (\tau^{\prime} - t)} d\tau^{\prime} dt \qquad (\tau^{\prime} = t + \tau) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau^{\prime}) e^{-i\omega \tau^{\prime}} d\tau^{\prime} e^{i\omega t}dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t}dt \\
&= \hat{f}(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} e^{i\omega t}dt \\
&= \hat{f}(\omega) \overline{\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt} \\
&= \hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} \\
&= | \hat{f}(\omega) |^{2} \\
&= S_{f}(\omega)
\end{align*}
R f ^ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R f ( τ ) e − iω τ d τ = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) f ( t + τ ) d t e − iω τ d τ = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ∫ − ∞ ∞ f ( t + τ ) e − iω τ d τ d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ∫ − ∞ ∞ f ( τ ′ ) e − iω ( τ ′ − t ) d τ ′ d t ( τ ′ = t + τ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ∫ − ∞ ∞ f ( τ ′ ) e − iω τ ′ d τ ′ e iω t d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) f ^ ( ω ) e iω t d t = f ^ ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e iω t d t = f ^ ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − iω t d t = f ^ ( ω ) f ^ ( ω ) = ∣ f ^ ( ω ) ∣ 2 = S f ( ω )
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