신호의 자기상관함수

정의¹

• 아날로그 신호

  에너지 신호 $f \in L^{2}(\mathbb{R})$에 대해서, 다음과 같이 정의된 $R_{f}$를 자기상관함수^{auto-correlation function}라 한다.

  $$ R_{f}(\tau) := \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} f(t + \tau) dt $$

  이때 $\overline{f(t)}$는 $f(t)$의 켤레복소수이다.

• 디지털 신호

  에너지 신호 $\left\{ x_{n} \right\} \in \ell^{2}$의 자기상관함수를 다음과 같이 정의한다.

  $$ R_{x}(m) := \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \overline{x_{n}}x_{n+m} $$

설명

내적으로 표현하면 다음과 같다. $f$의 트랜슬레이션을 간단히 $f_{-\tau} = T_{-\tau}f$라 표기하면,

$$ R_{f}(\tau) = \braket{f, T_{-\tau}f} = \braket{f, f_{-\tau}} $$

자기상관함수는 신호 $f$와 $f_{-\tau}$ 사이의 유사성에 대한 척도이다. $L^{2}$ 공간의 거리를 $d(f,g) = \left\| f - g \right\|_{2} = \sqrt{\braket{f-g, f-g}}$라 하면,

$$ \begin{align*} d(f, f_{-\tau}) ^{2} &= \braket{f-f_{-\tau}, f-f_{-\tau}} \\ &= \braket{f, f} - \braket{f, f_{-\tau}} - \braket{f_{-\tau}, f} + \braket{f_{-\tau}, f_{-\tau}} \\ &= \left\| f \right\|_{2} - \braket{f, f_{-\tau}} - \overline{\braket{f, f_{-\tau}}} + \left\| f_{-\tau} \right\| \\ &= 2\left\| f \right\|_{2} - 2 \Re \braket{f, f_{-\tau}} \\ &= 2\left\| f \right\|_{2} - 2 \Re \left( R_{f}(\tau) \right) \end{align*} $$

따라서 $R_{f}(\tau)$의 값이 커지면 $f$와 $f_{-\tau}$사이의 괴리가 줄어들고, 값이 작아지면 괴리가 커진다.

정리

아날로그 신호 $f \in L^{2}(\mathbb{R})$에 대해서, 다음이 성립한다.

$$ S_{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R_{f}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau = \hat{R_{f}}(\omega) $$

이때 $S_{f}(\omega)$는 $f$의 에너지 스펙트럼 밀도, $\hat{R_{f}}$는 $R_{f}$의 푸리에 변환이다.

증명

변수를 적당히 치환해주면 쉽게 보일 수 있다. $$ \begin{align*} \hat{R_{f}}(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} R_{f}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} f(t + \tau) dt e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(t + \tau) e^{-i\omega \tau} d\tau dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau^{\prime}) e^{-i\omega (\tau^{\prime} - t)} d\tau^{\prime} dt \qquad (\tau^{\prime} = t + \tau) \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau^{\prime}) e^{-i\omega \tau^{\prime}} d\tau^{\prime} e^{i\omega t}dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t}dt \\ &= \hat{f}(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} e^{i\omega t}dt \\ &= \hat{f}(\omega) \overline{\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt} \\ &= \hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} \\ &= | \hat{f}(\omega) |^{2} \\ &= S_{f}(\omega) \end{align*} $$

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같이보기

• 컨볼루션
• 자기상관함수
• 교차상관함수

확률과정

• 확률과정의 자기상관함수
• 확률과정의 교차상관함수