신호의 에너지와 평균 전력

정의¹

아날로그 신호

아날로그 신호 $f \in L^{p}$의 에너지^energy $E_{f}$를 아래와 같이 정의한다.

$$ E_{f} := \int_{-\infty}^{\infty} \left| f(t) \right|^{2} dt = \left\| f \right\|_{2}^{2} $$

$E_{f} \lt \infty$이면 $f$를 에너지 신호^{energy signal}라 한다. 에너지 신호가 아닌 $f$에 대해서, 평균전력^{mean power} $P_{f}$를 다음과 같이 정의한다.

$$ P_{f} := \lim\limits_{T \to \infty} \dfrac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left| f(t) \right|^{2}dt $$

$P_{f} \lt \infty$이면 $f$를 전력 신호^{power signal}라 한다.

디지털 신호

디지털 신호 $x_{n} = \left\{ x_{n} \right\} \in \ell^{p}$의 에너지 $E_{x_{n}}$을 아래와 같이 정의한다. $$ E_{x_{n}} := \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \left| x_{n} \right|^{2} = \left\| x_{n} \right\|_{2}^{2} $$

$E_{x_{n}} \lt \infty$이면 $x_{n}$을 에너지 신호라 한다. 에너지 신호가 아닌 $x_{n}$에 대해서, 평균전력 $P_{x_{n}}$을 다음과 같이 정의한다.

$$ P_{x_{n}} := \lim\limits_{T \to \infty} \dfrac{1}{T} \sum\limits_{n=1}^{T} \left| x_{n} \right|^{2} $$

$P_{x_{n}} \lt \infty$이면 $x_{n}$를 전력 신호라 한다.

설명

다시말해 $L^{2}$ / $\ell^{2}$ 공간의 원소를 에너지 신호라 부르고, 에너지 신호의 $2$-놈 $\left\| \cdot \right\|_{2}$을 에너지라 부른다. 에너지가 $2$-놈이므로, 플랜체렐 정리로부터 다음을 얻는다.

플랜체렐 정리

$$\| \hat{f} \|_{2}^{2} = 2\pi \| f \|_{2}^{2}$$

$\hat{f}$을 $f$의 푸리에 변환이라 하면,

$$ E_{f} = \int \left| f(t) \right|^{2} dt = \dfrac{1}{2\pi} \int | \hat{f}(\omega) |^{2} d\omega $$

이때 $| \hat{f}(\omega) |^{2}$를 $f$의 에너지 스펙트럼 (밀도)^{energy spectrum (density)}라 부르고 다음과 같이 표기한다.

$$ S_{f}(\omega) = S_{ff}(\omega) := | \hat{f}(\omega) |^{2} $$